【正文】 的條件下，可以討論 其 和函數(shù)的連續(xù)性、可微性以及可積性 .函數(shù)項級數(shù)在一致收斂時，求和和求導(dǎo)、求和和求積分的順序可以交換順序 .并且，往往交換順序以后方便我們解決一些函數(shù)項級數(shù)中的基本問題 .這個應(yīng)用非常重要，因此，本文將對函數(shù)項級數(shù)收斂 判別 的 方法 進行全面的 總結(jié) . 2 定義 ： 函數(shù)項 級數(shù)定義 定義 設(shè) {un (x)}是定義在數(shù)集 E 上的一個函數(shù)列，表達(dá)式 u1 (x)+u2 (x)+ ?? un (x) Ex?? ,? 稱為定義在 E 上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為 ???1 )(n n xu或 )(xun? 。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列，由等比級數(shù)求和公式知當(dāng) 0?x 時，xn nx exexxS ???? ??? ? 1)( 212 ，對于任意 n ，由于 xnxnnkxn eexexxSxS ?????? ???? ? 1)()( 212 因此級數(shù)的一致收斂性等價于函數(shù)列xnxeex ???12 對區(qū)間 )0( ???x 的一致收斂于零。 定義 1： 設(shè) )(xun ，（ .2,1 ??n ）都是在數(shù)集 D 上由定義的函數(shù)，若存在一個在 D上由定義的函數(shù) S(x),對任意的 0?? ，存在自然數(shù) N,使得當(dāng) nN 時，對一切 Dx? 均有 | )()(1 xsxuk k ????|〈 ? 則稱函數(shù)項級數(shù) )(1 xun n???在數(shù)集 D 上一致收斂于 S(x). 3 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法 下面將給出一些判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的基本方法： 柯西一致收斂準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法 （ M 判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法 以及不常用的方法，例如： 兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致 L 條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法 . 常用判別方法 定理 1 （ 柯西 一致 收斂 準(zhǔn)則 ） 函數(shù)項級數(shù) )(xun? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件：對任意的正數(shù) ? ，總存在某正整數(shù) N,使得當(dāng) nN 時，對一切 x D? 和一切正整數(shù) p,都有 | )()( xsxs npn ?? |? 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 7 頁，共 15 頁 ] 或 | )()()( 21 xuxuxu pnnn ??? ??? ?|? 判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂性除了根據(jù)定義和柯西準(zhǔn)則外，有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)各項的特征來判定。 定理 3 （余項判別法） 函數(shù)項級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數(shù) )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對于每一個 |)(|, xvIx n? 是單調(diào)的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級數(shù)在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數(shù) M，對一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當(dāng) n,p 為任意 正整數(shù)時， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對任何一個 x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數(shù) N，當(dāng) nN 時，對一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準(zhǔn)則，級數(shù)在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數(shù)級數(shù)一致收斂時， 三個條件 都應(yīng)滿足 ） 同樣的， 結(jié)合數(shù)項級數(shù)比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時我們還 可得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的對數(shù)判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 9 頁，共 15 頁 ] 設(shè) ()nux為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數(shù) N及實數(shù) q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對任意的 nN, xD? 成立，則函數(shù)項級數(shù)1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級數(shù) ?????NnNn Mqq 1 當(dāng)公比 0 q 1 時收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上正的函數(shù)列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x) 在 D 上一致有界 ,則函數(shù)項級數(shù) ???1 )(n n xu在 D上一致收斂 . 定 理 6 (根式判別法 ) 設(shè) nu ( x) 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列 ,若存在正整數(shù) N ,使得 1|)(| ?? qxun n ，對 ? nN ,x∈ D 成立 ,則函數(shù)項級數(shù)???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 . XXXXXXX(論文題目 ) [第 10 頁，共 15 頁 ] 證明 : 由定理條件 ,| nu (x)| ≤ nq ， 對 ? nN,x∈ D 成立 ,而幾何級數(shù) Σ nq 收斂 ,由優(yōu)級數(shù)判別法知 ,函數(shù)項級數(shù) ???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 .（注 :當(dāng)定理 6 條件成立時 ,級數(shù) ???1 )(n n xu在 D上收斂且絕對 收 斂） （極限形式） 設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)列 ,若1)(|)(|li m ????? qxqxun nn ，對 ? x ∈ D成立 ,則函數(shù)項級數(shù)在 D 上一致收斂 。而當(dāng) ()px p1對成立時 ,有 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 11 頁，共 15 頁 ] nu (x) pn1 , p級數(shù) Σ pn1 當(dāng) p1時發(fā)散 ,從而函數(shù)項級數(shù)???1 )(n n xu 在 D 上不一致收斂 . 定理 8 （ 積分判別法 ） 設(shè) ( , )f xy 為區(qū)域 ? ?( , ) | ,1R x y x D y? ? ? ? ??上的非負(fù)函數(shù)， 如果 ( , )f xy 在 ? ?1,?? 上關(guān)于 y為單調(diào)減函數(shù)，若含參變量反常積 分 ( , )x f x y dy??在數(shù)集 D上一致收斂，則 ()nux? 在數(shù)集 D上一致收斂 .