第二節(jié)正項級數(shù)審斂法-wenkub
2022-10-09 13:56:14 本頁面
【正文】 數(shù)列是 單調(diào)增加 的，即 正項級數(shù) . 定理 1 正項級數(shù) 收斂的 充分必要條件 是：它的部分和數(shù)列 {sn}有界 . ???1nnu收斂，它的部分和數(shù)列收斂，證明：必要性：設(shè)級數(shù)}{ 1nnnsu???是單調(diào)增數(shù)列，則因有界，現(xiàn)假定充分性：}{ }{ nnss.}{ 有界的有界性，可知根據(jù)收斂數(shù)列 ns.}{1收斂存在極限，從而級數(shù)故 ???nnn us. 211211211211 121收斂證明級數(shù)例?? ????????????nnn證明 :這是一個 正項級數(shù) ，其部分和為 : nns 2112112112 ??????? ?故 {sn}有界 ， 所以原級數(shù) 收斂 . n2121212 ???? ?1211 ???n定理 2(比較審斂法 ) 設(shè) 和 都是 正項級數(shù)，且 ),2,1( ??? nvu nn???1nnv???1nnu若 級數(shù) 收斂 ，則級數(shù) 收斂 ； 反之，若級數(shù) 發(fā)散 ，則級數(shù) 也 發(fā)散 . ???1nnv ???1nnu???1nnu ???1nnvnnnnn uuussnu ????????211 , 即：項和是的前證明：設(shè)nnnnn vvvnv ????????211, ?? 即：項和是的前設(shè)),2,1( ??????nsvunnnn?.}{1也收斂有界，級數(shù)即 ???nnn us??????????nnnnnnnsssu?? ,}{)2(1，則有：又有無界，且發(fā)散，則若級數(shù) ????????????nnnnnnsv . }{)1(1由此得：且增加，單調(diào)，因為收斂于若級數(shù).}{ 1也發(fā)散也無界。 ,),0( l i m ( 1 )1111收斂則級數(shù)收斂且級數(shù)都是正項級數(shù)，如果和設(shè)級數(shù)???????????????????nnnnnnnnnnnuvllvuvu. ,l i m0l i m )2(11發(fā)散則級數(shù)發(fā)散且級數(shù)或???????????????nnnnnnnnnnuvvulvu1??證明 ： (1) 由極限定義可知 ,對 ,存在自然數(shù) N, 當(dāng)nN時，有 .)1( 1 nnn vlulvu ???? 即，而級數(shù)數(shù) 收斂，根據(jù)比較 審斂法的推論 , 知級數(shù) 收斂 ???1nnv???1nnu級數(shù) 不可能收斂，即級數(shù) 發(fā)散 . (2) 按已知條件知極限 存在，如果級數(shù) 收斂，則由結(jié)論 (1)必有級數(shù) 收斂，但已知級數(shù) 發(fā)散，因此 ???1nnv???1nnv???1nnunnn uv??lim???1nnu???1nnu 定理表明，當(dāng) 時，如果 是與 同階 或是比 高階的無窮小 ，而級數(shù) 收斂 ，則級數(shù) 收斂 ；如果 是 同階 或是比 低階 的無窮小，而級數(shù) 發(fā)散 ，則級數(shù) 發(fā)散 . ??nnvnvnvnunvnu???1nnv ???1nnu???1nnv ???1nnu.1s i n 51的斂散性判別級數(shù)例 ???n n,0111s i nlim ????nnn?解：由定理 (3)知原級數(shù)發(fā)散 . ???11n n而調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的， .)11l n ( 61 2的斂散性判定級數(shù)例 ????n n221)11l n (l i mnnn???解：考察并應(yīng)用洛必達法則，代替利用實變量 ,nxttxxtxtxtx)1l n (l i m1)11l n (l i m,0,10222??????????有
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