第二節(jié)正項級數(shù)審斂法-文庫吧
2025-08-25 13:56 本頁面
【正文】 11收斂于級數(shù)而解：??????nnnnn?.211也收斂，且其和小于????n nn.)1( 1 41是發(fā)散的證明級數(shù)例 ??? ?n nn22)1(1)1(1 )1()1( ???????nnnnnn?證明：11)1(1???? nnn由 比較判別法 可知，所給級數(shù)也 發(fā)散 . ?? ?????????? 113121111 nnn而級數(shù) 是發(fā)散的； 定理 3(比較判定法的極限形式 ) 。 ,),0( l i m ( 1 )1111收斂則級數(shù)收斂且級數(shù)都是正項級數(shù)，如果和設級數(shù)???????????????????nnnnnnnnnnnuvllvuvu. ,l i m0l i m )2(11發(fā)散則級數(shù)發(fā)散且級數(shù)或???????????????nnnnnnnnnnuvvulvu1??證明 ： (1) 由極限定義可知 ,對 ,存在自然數(shù) N, 當nN時，有 .)1( 1 nnn vlulvu ???? 即，而級數(shù)數(shù) 收斂，根據(jù)比較 審斂法的推論 , 知級數(shù) 收斂 ???1nnv???1nnu級數(shù) 不可能收斂，即級數(shù) 發(fā)散 . (2) 按已知條件知極限 存在，如果級數(shù) 收斂，則由結(jié)論 (1)必有級數(shù) 收斂，但已知級數(shù) 發(fā)散，因此 ???1nnv???1nnv???1nnunnn uv??lim???1nnu???1nnu 定理表明，當 時，如果 是與 同階 或是比 高階的無窮小 ，而級數(shù) 收斂 ，則級數(shù) 收斂 ；如果 是 同階 或是比 低階 的無窮小，而級數(shù) 發(fā)散 ，則級數(shù) 發(fā)散 . ??nnvnvnvnunvnu???1nnv ???1nnu???1nnv ???1nnu.1s i n 51的斂散性判別級數(shù)例 ???n n,0111s i nlim ????nnn?解：由定理 (3)知原級數(shù)發(fā)散 . ???11n n而調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的， .)11l n ( 61 2的斂散性判定級數(shù)例 ????n n221)11l n (l i mnnn???解：考察并應用洛必達法則，代替利用實變量 ,nxttxxtxtxtx)1l n (l i m1)11l n (l i m,0,10222??????????有時，當令11 1lim0???? tt,11)11l n (lim22?????nnn.)11l n ()3(,11212收斂知級數(shù)由定理收斂級數(shù)???????nnnn定理４ (達朗貝爾比值判別法 ) 設 為 正項級數(shù) ，如果 (1)當 l 1時，級數(shù) 收斂 ； ???1nnu(3)當 l=1時，級數(shù)可能 收斂 ，可能 發(fā)散 . luunnn????1lim????? nnn uu 1l i m(2)當 l 1(或 )時，級數(shù) 發(fā)散 . 證 : (1) 當 l1，取一個適當小的正數(shù) , 使得 , 由 極限定義 知，存在自然數(shù) m, ? 1??? rl ??? , , , 3232121mmmmmmmmurruuurruuruu???????????rluumnnn ???? ? ?1:時，有當有 級數(shù) 收斂，因為此級數(shù)的各項小于收斂的 等比級數(shù) (公比 r1)對應項： ???? ??? 321 mmm uuu???? mmm ururru 32 也收斂????1 nnu(此級數(shù)比以上級數(shù)只多了前 m項 )
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