倒數(shù)和微分求導(dǎo)法則(已修改)
2025-08-22 10:52 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 167。 2 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)很有用 ， 但全憑定義來計(jì)算導(dǎo) 四、基本求導(dǎo)法則與公式 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 , 使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變得較為簡(jiǎn)便 . 數(shù)是不方便的 . 為此要建立一些有效的 返回返回 后頁 前頁 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 0 00( ( ) ( ) ) ( ) ( ) . ( 1 )xxu x v x u x v x?? ? ?? ? ?在點(diǎn) x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x??0 0 0 0 0( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )xxu x v x u x v x u x v x?? ? ???推論 若 u (x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) ,c 是常數(shù) ， 則 在點(diǎn) x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x?定理 若函數(shù) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x定理 若函數(shù) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x返回 后頁 前頁 ( ( ) ) ( ) . ( )0 0 3xxc u x c u x??? ?( ) .uv w u v w uv w uv w? ? ? ?? ? ?定理 可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 , 如 下面證明乘積公式 (2), 請(qǐng)讀者自行證明公式 (1) . ( ) ( ) ( ) ( )( ) l im 0 0 0 00 Δ 0Δ ΔΔxu x x v x x u x v xfxx?? ? ?? ?0 0 0 0Δ 0( Δ )( Δ ) ( ) ( Δ )limΔxu x x v x x u x v x xx?? ? ? ? ???? 證 (2) 按定義可得 返回 后頁 前頁 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v xx????????0000( ) ( )l i m ( )xu x x u x v x xx?? ???????注意 : ,千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式 (2) ()u v u v? ? ??? 記錯(cuò)了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x????0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxx???????返回 后頁 前頁 例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?求 的導(dǎo)數(shù)10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 對(duì)于多項(xiàng)式 f 而言 , 總是比 f 低一個(gè)冪次 . f?例 2 s in ln .y x x x??求 在 處 的 導(dǎo) 數(shù)π解 由公式 (2)，得 120 1 1( 1 ) .?? ?? ? ? ? ?nn nn a x n a x al n .xy ? ??? ??1( sin ) ln sin ( ln ) c o s ln sin ,y x x x x x x xx? ? ?? ? ? ?返回 后頁 前頁 00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )(). ( 4 )() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ?????? 在點(diǎn) x0 也可導(dǎo) ， 且 ()() ()uxfx vx?則定理 若函數(shù) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , ( ), ( )u x v x 0( ) 0 ,vx ?返回 后頁 前頁 證 1( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ,()g x f x u x g x g xvx??設(shè) ，則 對(duì) 有0 00011( Δ) ()( Δ ) ( )ΔΔv x x vxg x x g xxx?????0000( Δ ) ( ) 1 .Δ ( Δ ) ( )v x x v xx v x x v x??? ? ???由于 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 因此 0( ) 0 ,vx ?()vx返回 后頁 前頁 對(duì) 應(yīng)用公式 (2) 和 (5), 得 ( ) ( ) ( )f x u x g x?0 0 00 200( ) ( ) ( )( ) l i m ,()xg x x g x v xgxx vx? ????? ? ? ?ΔΔ0020()1.() ()xxvxvx vx?? ?????????亦即 (5) 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x u x g x u x g x? ? ???00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )().() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ??????即返回 后頁 前頁 例 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 22 222c os si n 1 se c .c os c osxx xxx?? ? ?( i ) , 。nxn? 是正整數(shù)( ii ) t a n , c o t 。xx( iii ) s e c , c s c .xx解 1121( i ) ( ) .nnnnnnxx n xxx?? ? ????? ? ? ? ? ?????2sin ( sin ) c os sin ( c os )( ii ) ( t an )c os c osx x x x xxx x? ?? ???? ??????返回 后頁 前頁 同理可得 s e c t a n .xx?221 ( c os ) sin( iii ) ( se c )c os c os c osxxxx xx? ???? ? ? ? ?????( c s c ) c s c c o t .x x
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