高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)(已修改)
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【正文】 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 1 高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo) 重點(diǎn)：求導(dǎo)法則、高階導(dǎo)數(shù)的定義 難點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的具體求法 關(guān)鍵：高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)順序 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 2 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)存在，稱為 的二階導(dǎo)數(shù) 記作： ， 或 )( xfy ?)( xfy ???22dxyd )(dxdydxdy??y?2. 仍是 x的函數(shù) ， 還可以進(jìn)一步考慮 有三階導(dǎo)數(shù) 或 ， 四階導(dǎo)數(shù) 或 ， …… n階導(dǎo)數(shù) 或 . y???33dxyd)4(y44dxyd)(nynndxyd一、基本概念 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 3 (x)在 x處有 n階導(dǎo)數(shù) ， 那么 在 x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù) )()1( xf n?：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？ 一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則 高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例 0, ????? yay解 例 1 y=ax+b, 求 y? 例 2 求 ,sin ts ?? s? 解 tsts ???? s i n,c o s 2??????2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 4 例 3 證明 :函數(shù) 滿足關(guān)系式 22 xxy ??013 ????yy證 將 求導(dǎo) ,得 22 xxy ??,2122 22 22 xx xxx xy ???????22222222)1(2xxxxxxxxy??????????3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx????????????應(yīng)用 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 5 于是 013 ????yy下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù) 例 4 求指數(shù)函數(shù) 的 n階導(dǎo)數(shù) xey ?解 xxxx eyeyeyey ?????????? )4(,一般地 ,可得 ,)( xn ey ?即 xnx ee ?)()(例 5 求正弦與余弦函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù) 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 6 解 ,sin xy ?),2s i n (c os ????? xxy)22s i n ()2c os ( ??? ??????? xxy),22s i n ( ???? x),23s i n ()22c os ( ?? ????????? xxy),24s i n ()23c os ()4( ?? ?????? xxy一般地 ,可得 ),2s i n ()( ???? nxy n即 ).2c os ()(s i n)( ???? nxx n2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 7 用類似方法 ,可得 ).2c os ()(c os )( ???? nxx n例 6 求對(duì)數(shù)函數(shù) ln(1+x)的 n階導(dǎo)數(shù) 解 ,11),1l n (xyxy ?????,)1( 321,)1( 21,)1( 1 4)4(32 xyxyxy ? ????? ??????????一般地 ,可得 ,)1()!1()1( 1)(nnnxny???? ?即 ? ?nnnxnx)1()!1()1()1l n ( 1)(????? ?通常規(guī)定 0!=1,所以這個(gè)公式當(dāng) n=1時(shí)也成立 .
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