應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)(已修改)
2025-08-20 10:10 本頁(yè)面
【正文】 參數(shù)估計(jì) 2 一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? 點(diǎn)估計(jì)：通過 樣本求出 總體參數(shù)的估計(jì)值 ? 點(diǎn)估計(jì)方法：總體 X的分布已知，但其參數(shù)未知。對(duì)總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣，用 樣本 X1, X2 , ? , Xn 構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量作為參數(shù) ? 的估計(jì)量 若抽取的樣本值為 x1, x2 , ? , xn ,則 就是 ?的估計(jì)值。 ? 點(diǎn)估計(jì)方法分為矩法和極大似然法。 ),(? 21 nXXXg ???),(? 21 nxxxg ???3 設(shè) X1, X2 , ? , Xn為 總體 X的樣本 , 樣本的 k階原點(diǎn)矩： 樣本的 k階中心矩： 矩法估計(jì)就是用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩 的估計(jì)量。 ???nikik XnA11kniik XXnB )(11????4 矩法估計(jì) 設(shè)總體 X分布函數(shù)中包含 m個(gè)未知參數(shù) ?1, ?2,? ,?m，總體 X的 k階矩 vk=E(Xk)= vk(?1, ?2,? ,?m),k=1,2,? ,m, 以樣本矩 Ak作為總體矩 vk的估計(jì)，即 由 m個(gè)方程解出 ?1, ?2,? ,?m， 就是總體參數(shù) ?k的 估計(jì)量，稱為矩估計(jì)量。 mkXnvnikimk ,2,1,1),(121 ?? ?? ?????),(? 21 nk XXX ??5 矩法估計(jì) 對(duì)具體抽取的樣本值 x1, x2 , ? , xn，則 為 ?k的估計(jì)值。 ),(? 21 nk xxx ??6 設(shè)連續(xù)型總體 X的概率密度函數(shù)為 f(x。 ?), ?是未知參數(shù)，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X1, X2 , ? , Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 對(duì)于樣本的觀察值 x1, x2 , ? , xn， 稱為似然函數(shù)。 ???niin xfxxxf121 )。()。,(* ???????niin xfxxxLL121 )。()。,()( ??? ?7 極大似然估計(jì) 極大似然估計(jì)法就是選取參數(shù)值 作為 參數(shù) ?的估計(jì)值，使樣本落在觀察值 (x1, x2 , ? , xn)的鄰域里的概率 達(dá)到最大。對(duì)固定的 (x1, x2 , ? , xn)就是 選取 ，使 達(dá)到最大，即 L(?)達(dá)到最大。 ????niii xxf1d)。( ??? ??niixf1)。( ?8 極大似然估計(jì) 定義： 對(duì)固定的 樣本值 (x1, x2 , ? , xn)，若 有 (x1, x2 , ? , xn) 使得 則稱 是參數(shù) ?的極大似然估計(jì)值，相應(yīng) 的 (X1,X2,? ,Xn )是參數(shù) ?的極大似然估 計(jì)量。 由于 L(?)與 lnL(?)有相同的極值，通 常取對(duì)數(shù) 似然函數(shù)求 極值 。 ??)。,(m a x)?。,( 2121 ?? nn xxxLxxxL ?? ?????9 極大似然估計(jì) 求 極大似然估計(jì)的步驟： ? 由總體的密度函數(shù) f(x。 ?)，寫出 似然函 數(shù) ? 求出 對(duì)數(shù) 似然函數(shù) lnL ? 求出 , 并令其為 0
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