【正文】 第 1 頁 共 18 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 19） — 用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 1． 用樣本估計(jì)總體 ① 通過實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)他們各自的特點(diǎn) ； ② 通過實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差 ； ③ 能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋 ； ④ 在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的 思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性 ； ⑤ 會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題；能通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異 ； ⑥ 形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí) 。 2． 變量的相關(guān)性 ① 通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系 ； ② 經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想， 能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二．命題走向 “統(tǒng)計(jì)”是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，并會(huì)用樣本的特征來估計(jì)總體的分布。 預(yù)測 2020 年高考對(duì)本講的考察是： 1．以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問題的能力； 2．熱點(diǎn)問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。 三．要點(diǎn)精講 1．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 （ 1）眾數(shù)、中位數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； 將一組數(shù)據(jù)按照從大到小（或從小到大）排列，處在中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； （ 2）平均數(shù)與方差 如果這 n 個(gè)數(shù)據(jù)是 nxxx ,........., 21 ，那么 ???ni ixnx 11 叫做這 n 個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)； 第 2 頁 共 18 頁 如果這 n個(gè)數(shù)據(jù)是 nxxx ,........., 21 ，那么 )(112 ?? ??ni i xxnS叫做這 n 個(gè)數(shù)據(jù)方差；同時(shí) ?s )(11?? ?ni i xxn叫做這 n 個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 2．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖 樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表示。 頻率分布直方圖： 具體做法如下： （ 1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）； （ 2）決定組距與組數(shù)； （ 3）將數(shù)據(jù)分組； （ 4）列頻率分布表； （ 5）畫頻率分布直方圖。 注：頻率分布直方圖中小正方形的面積 =組距組距頻率=頻率。 折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。 總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。 3．線性回歸 回歸分析：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。 回歸直線方程：設(shè) x 與 y 是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于 n個(gè)觀測值的 n 個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為 y 對(duì) x 的回歸函數(shù)的類型為直線型：bxay ??? 。其中 2121121)())((xnxyxnyxxxyyxxb niiniiiniiniii??????????????? ， xbya ?? 。我們稱這個(gè)方程為 y對(duì) x的回歸直線方程。 四．典例解析 題型 1：數(shù)字特征 例 1． 為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中 20顆做試驗(yàn)，得到這 20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下： 第 3 頁 共 18 頁 (1)在這個(gè)問題中，總體、個(gè)體、樣本和樣本容量各是什么？ (2)求出這 20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑． 解析： (1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個(gè)體是每一顆 手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的 20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是 20。 (2)在 20個(gè)數(shù)據(jù)中， 10出現(xiàn)了 6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是 10（米）。 20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第 10個(gè)和第 11個(gè)數(shù)據(jù)是最中間的兩個(gè)數(shù)，分別為 9（米）和 10（米），所以中位數(shù)是 21 （ 9+10） =（米）。 樣本平均數(shù) )112311610495817(201 ?????????????x （米） 所以，估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑約為 。 點(diǎn)評(píng)： (1)根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念答題．要注意：總體、 個(gè)體和樣本所說的考察對(duì)象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說成考察的對(duì)象是手榴彈，而應(yīng)說是手榴彈的殺傷半徑。 (2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑．另外在這里要會(huì)簡便計(jì)算有多個(gè)重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。 例 2．為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量， 1999年從某縣共 600家高、中、低檔飯店抽取 10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為： (1)通過 對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣 1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按 350個(gè)營業(yè)日計(jì)算）； (2)2020年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是 10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子 ．求該縣 2020年、 2020年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率（ 2020年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與 1999年相同）； (3)在 (2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材 ，求該縣 2020年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子 100雙，每雙筷子的質(zhì)量為 5g，所用木材的密度為 103kg/m3； (4)假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡要地用文字表述出來。 解析： (1) )(101 ???????????x 所以 ,該縣 1999年消耗一次性筷子為 2 600 350=420200（盒）。 第 4 頁 共 18 頁 (2)設(shè)平均每年增長的百分率為 X，則 2（ 1+X） 2=, 解得 X1==10%， X2=－ （不合題意，舍去）。 所以 ,平均每年增長的百分率為 10%； (3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù) 為 7260 3 ??? ????（套）。 (4)先抽取若干個(gè)縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計(jì)一次性筷子的用量． 點(diǎn)評(píng)：本題是一道統(tǒng)計(jì)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，需要靈活運(yùn)用各種知識(shí)分析解決問題．對(duì)于第 (1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計(jì)總體的思想來求得問題的解．對(duì)于第 (2)小題，實(shí)際是一個(gè)增長率問題的應(yīng)用題，可通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法來解．對(duì)于第 (3)小題，用到了物理公式 m＝ ρv， 體現(xiàn)了各學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實(shí)際問 題時(shí)能綜合運(yùn)用多種知識(shí)靈活地解決問題．第 (4)小題只要能夠運(yùn)用隨機(jī)抽樣方法，