用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系(文件)
【正文】 1．隨機(jī)事件的概念 在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件 。 3．事件間的關(guān)系 （ 1）互斥事件：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件； （ 2）對(duì)立事件：不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件； （ 3）包含：事件 A 發(fā)生時(shí)事件 B 一定發(fā)生，稱(chēng)事件 A 包含于事件 B（或事件 B 包含事件 A）； 4．事件間的運(yùn)算 （ 1）并事件（和事件） 若某事件的發(fā)生是事件 A發(fā)生或事件 B 發(fā)生，則此事件稱(chēng)為事件 A與事件 B 的并事件。如果某個(gè)事件 A包含的結(jié)果有 m個(gè) ,那么事件 A的概率 P（ A） =nm。針對(duì)不同的問(wèn)題加以區(qū)分。 （ 2）在一場(chǎng)乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來(lái)決定由誰(shuí)先發(fā)球，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其公平性。 題型 2：頻率與概率 例 3． 某種菜籽在相同在相同的條件下發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表：（求其發(fā)芽的概率） 種子粒數(shù) 2 5 10 70 130 310 700 1500 2020 3000 發(fā)芽粒數(shù) 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 解析：我們根據(jù)表格只能計(jì)算不同情況下的種子發(fā)芽的頻率分別是： 1， ， ， ， ， ， ， ， 。 例 4． 進(jìn)行這樣的試驗(yàn)：從 0、 … 、 9 這十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn) 10000 次，將每次取得的數(shù)字依次記下來(lái)，我們就得到一個(gè)包括 10000 個(gè)數(shù)字的 “隨機(jī)數(shù)表 ”．在這個(gè)隨機(jī)數(shù)表里，可以發(fā)現(xiàn) 0、 … 、 9這十個(gè)數(shù)字中各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在 附近．現(xiàn)在我們把一個(gè)隨機(jī)數(shù)表等分為 10 段，每段包括 1000個(gè)隨機(jī)數(shù)，統(tǒng)計(jì)每 1000 個(gè)隨機(jī)數(shù) 中數(shù)字 “7”出現(xiàn)的頻率，得到如下的結(jié)果： 段序：n=1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 13 頁(yè) 共 18 頁(yè) 出現(xiàn)“ 7”的頻數(shù) 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 出現(xiàn)“ 7”的頻率 由上表可見(jiàn)，每 1000 個(gè)隨機(jī)數(shù)中 “7”出現(xiàn)的頻率也穩(wěn)定在 的附近．這就是頻率的穩(wěn)定性．我們把隨機(jī)事件 A的頻率 P(A)作為隨機(jī)事件 A的概率 P(A)的近似值 。 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析好對(duì)立事件與互斥事件間的關(guān)系。 例 6．（ 2020天津文， 18）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒(méi)有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是 , 乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是。 題型 4：古典概率模型的計(jì)算問(wèn)題 例 7．從含有兩件正品 a1， a2和一件次品 b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。 例 8．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有 10 件，其中 8 件為正品， 2 件為次品： （ 1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù) 3 次取出的都是正品的概率； （ 2）如果從中一次取 3件，求 3件都是正品的概率。 解法 2：可以看作不放回 3 次無(wú)順序抽樣，先 按抽取順序 （ x,y,z） 記錄結(jié)果， 則 x有 10種可能， y有 9種可能， z有 8種可能，但（ x,y,z），（ x,z,y），（ y,x,z），（ y,z,x），（ z,x,y），（ z,y,x），是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有 10 9 8247。 題型 5：利用排列組合知識(shí)解古典概型問(wèn)題 第 15 頁(yè) 共 18 頁(yè) 例 9．（ 2020 山東文， 19） 盒中裝著標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 4 的卡片各 2 張，從盒中任意任取 3 張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求： (Ⅰ )抽出的 3 張卡片上最大的數(shù)字是 4 的概率； (Ⅱ )抽出的 3 張中有 2 張卡片上的數(shù)字是 3 的概念； (Ⅲ )抽出的 3 張卡片上的數(shù)字互不相同的概率。現(xiàn)有芳香度分別為 0， 1， 2， 3， 4， 5的六種添加劑可供選用。 點(diǎn)評(píng)： 高考對(duì)概率內(nèi)容的考查，往往以實(shí)際應(yīng)用題出現(xiàn)。 我們經(jīng)常見(jiàn)的錯(cuò)里還有“投擲兩枚硬幣的結(jié)果”，劃分基本事件“兩正、一正一反、兩反”，其中“一正一反”與“兩正”、“兩反”的機(jī)會(huì)是不均等。 剖析：錯(cuò)把分步原理當(dāng)作分類(lèi)原理來(lái)處理。該問(wèn)題對(duì)甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的計(jì)數(shù)是重復(fù)的，兩人都抽取到選擇題這種情況被重復(fù)計(jì)數(shù)。 五．思維總結(jié) 本講概念性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、思維方法獨(dú)特。只有在同時(shí)滿(mǎn)足（ 1）、（ 2）的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式 P(A)=m/n 得出的結(jié)果才是正確的。當(dāng) A、 B為互斥事件時(shí)，事件 A+B是由“ A發(fā)生而 B不發(fā)生”以及“ B發(fā)生而 A不發(fā)生”構(gòu)成的。 4．在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單事件是解答這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問(wèn)題、解 決問(wèn)題的能力的重要環(huán)節(jié)。 對(duì)于 n 個(gè)互斥事件 A1， A2，?， An，其加法公式為 P（ A1+A2+? +An） =P（ A1） +P（ A2） +? +P（ An）。 3．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合 A 的對(duì)立事件記作 A ，從集合的角度來(lái)看，事件 A 所含結(jié)果的集合正是全集 U中由事件 A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即 A∪ A =U， A∩ A =? .對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。 1．使用公式 P（ A） =nm計(jì)算時(shí)，確定 m、 n的數(shù)值是關(guān)鍵所在 ,其計(jì)算方法靈活多變 ,沒(méi)有固定的模式，可充分利用排列組合知識(shí)中的分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。 方法二：利用對(duì)立事件 事件“甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對(duì)立事件。 （ 2）甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是多少？ 錯(cuò)解：甲、乙中甲抽到判斷題的種數(shù)是 6 9 種，乙抽到判斷題的種數(shù) 6 9 種，故第 17 頁(yè) 共 18 頁(yè) 甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的種數(shù)為 12 9；又甲、乙二人一次各抽取一題的種數(shù)是 10 9，故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是561012?。 如果試驗(yàn)所包含的基本事件是無(wú)限多個(gè)，那根本就不會(huì)得到基本事件的總數(shù)，也就不能用基本事件的總數(shù) 包含的基本事件個(gè)數(shù)事件 AAP ?)(公式來(lái)解決問(wèn)題。 第 16 頁(yè) 共 18 頁(yè) 題型 6：易錯(cuò)題辨析 例 11． 擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為 6的概 率。 （Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于 4的概率； （Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于 3的概率； 解析：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于 4”的事件為 A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于 3”的事件為 B （Ⅰ）芳香度之和等于 4的取法有 2種： (0,4) 、 (1,3) ，故 2()15PA? 。 例 10．（ 2020 安徽文， 19） 在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要 對(duì)各種不同的搭配方式作比較。 6=56，因此 P(B)= 12056 ≈ 。 解析：（ 1）有放回地抽取 3 次，按抽取順序（ x,y,z）記錄結(jié)果，則 x,y,z 都有 10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有 10 10 10=103種；設(shè)事件 A為“連續(xù) 3次都取正品”，則包含的基本事件共有 8 8 8=83種，因此， P(A)= 33108 =。其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第 1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第 2 次取出的產(chǎn)用 A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件， 則 A=[（ a1， b1），（ a2， b1），（ b1， a1），（ b1， a2） ]， 事件 A由 4 個(gè)基本事件組成，因而， P（ A） =64 =32。 （ I）解：任取甲機(jī)床的 3 件產(chǎn)品恰有 2 件正品的概率為 2233( 2 ) 0 .9 0 .1 0 .2 4 3 .PC? ? ?
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