高中數(shù)學(xué)北師大版必修5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案(已修改)
2024-12-24 02:37 本頁(yè)面
【正文】 第 4 課時(shí) 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 n項(xiàng)和 . n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等差數(shù)列的問題 . n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 . 高斯是數(shù)學(xué)發(fā)展史上有很大影響的偉大數(shù)學(xué)家之一 .高斯十歲時(shí)數(shù)學(xué)老師出了一道題 : 1+2+3+? +99+100. 老師剛寫完題目高斯就把解題用的小石板交給了老師 ,上面只有 5050 一個(gè) 答案 . 當(dāng)時(shí)高斯 的思路和 解答方 法是 :S=1+2+3+? +99+100,把加 數(shù)倒序?qū)?一遍 :S=100+99+98+? +2+1. ∴ 2S=(1+100)+(2+99)+? +(99+2)+(100+1)=100 101,∴S= 50 101=5050. 問題 1:利用 “ 高斯的算法 ” 求和 :1+2+3+? +n. 設(shè) Sn=1+2+3+? +(n1)+n,又 Sn=n+(n1)+(n2)+? +2+1, ∴ 2Sn=(1+n)+[2+(n1)]+? +[(n1)+2]+(n+1)=n(n+1), ∴S n= . 問題 2:用 “ 倒序相加法 ” 證明 Sn= . ∵S n=a1+a2+a3+? +an1+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+? +[a1+(n2)d]+[a1+(n1)d], Sn=an+an1+an2+? +a2+a1 =an+(and)+(an2d)+? +[an(n2)d]+[an(n1)d], ∴ 2Sn= , 由此可得等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和公式 : . 問題 3:用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo) :Sn=na1+ d. Sn=a1+a2+a3+? +an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+? +[a1+(n1)d] =na1+ =na1+[1+2+3+? +(n1)]d
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