定積分的概念上課(已修改)
2025-12-04 12:56 本頁面
【正文】 x y 0 直線 x y 0 幾條線段連成的 折線 x y o 曲線 探究思考 問題 1：你能求出下面圖像的面積嗎？ 問題 2：第三幅圖的面積應(yīng)該怎么求呢？ ： 在直角坐標(biāo)系中 ， 由連續(xù)曲線 y=f(x)， 直線 x=a、 x=b及 x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形 。 O x y a b y=f (x) 一 . 求曲邊梯形的面積 x=a x=b 因此，我們可以用這條直線 L來代替點(diǎn) P附近的曲線，也就是說：在點(diǎn) P附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍 “ 內(nèi)以直代曲 ” ）． P 放大 再放大 P P “以直代曲 ,無限逼近 ”的數(shù)學(xué)思想 y = f(x) b a x y O A1 A ? A1. 用一個矩形的面積 A1近似代替曲邊梯形的面積 A，得 A ? A1+ A2 用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形 的面積 A，得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A ? A1+ A2+ A3+ A4 用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形 的面積 A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A3 A4 y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積 A近似為 A1 Ai An —— 以直代曲 ,無限逼近 2．曲邊梯形的面積 求曲邊梯形的面積即 求 下的面積 )( xfy ? 0)( ?xf—— 分成很窄的小曲邊梯形 ， 然后用矩形面積代后求和 。 若 “ 梯形 ” 很窄， 可近似地用矩形面積代替 在不很窄時怎么辦？ —— 以直代曲 O a bxy)( xfy ?O a bxy)(xfy?例 y=x 直線 x=1和 x軸所圍成的曲邊梯形的面積 。 n1 n2 nknn xOy解析 :把底邊 [0,1]分成 n等份 ,然后在每個分點(diǎn)作底邊的垂線 , 這樣曲邊三角形被分成 n個窄條 , 用矩形來近似代替 ,然后把這些小矩形的面積加起來 , 得到一個近似值，再取其極限值。 2xy?探究思考 把區(qū)間 [0， 1]等分成 n個小區(qū)間 ： ],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[ ???????? 每 個 區(qū) 間 的 長 度 為i i 1 1Δ x = =n n n過各區(qū)間端點(diǎn)作 x軸的垂線，從而得到 n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作 .S,S,S,S ni21 ?????????? 1n 2n kn nn xOy 2yx?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?i 1 iffnn≈i1n in??????if n??????i1f n 如圖，當(dāng) n很大時，即△ x很小時，在區(qū)間 上可以認(rèn)為函數(shù) 的值變化很小 . i 1 i,nn??????2y = x 把曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形面積記做 .用小矩形的面積 近似地替代 即局部小范圍內(nèi)“以直代曲” . ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????239。ii2i 1 i 1Δ S Δ S = f Δ x= Δ xnni 1 1= i = 1, 2, , n .nn≈i39。ΔsiΔsiΔs則陰影部分面積 ns? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ??2nni =1 i =1n39。nii =12222233S= Δ S=1 1 1 n 1 1= 0 + + +n n n n n1= 1 + 2 + + n 1nn 1 n 2n 11=n61 1 1= 1 i 1 i 1 1f Δ x=13 n 2n n nn……? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n1 1 1S S = 1 1 3 n 2 n≈得到 S（曲邊梯形面積）的近似值 ： 當(dāng) 分 割 的 份 數(shù) 無 限 增 多 ,即 n → ∞ , △ x → 0 時 當(dāng) n趨向于無窮大，即 趨向于 0時， 趨向于 Δxn1 1 1S = 1 1 3 n 2 n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ???nni =1nnnS = lim S =1 1 1 1= lim 1 11=3 n 2i 1lim fnnn3→ ∞→ ∞→ ∞分割 以曲代直 作和 逼近 例 y=x 直線 x=1和 x軸所圍成的曲邊梯形的面積 。 n1 n2 nknn39。21 1 12 2 22 2 2331 1 1( ) ( )1 1 1 2 1 1 10 1( 1 2 ( 1 ) )1 ( 1 ) ( 2 1 )61 1 11 2 .6n n nnii i iiiS S f xn n nnn n n n n n nnnn n nnnn? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?xOy解 把底邊 [0,1]分成 n等份 ,然后在每個分點(diǎn)作底邊的垂線 , 這樣曲邊三角形被分成 n個窄條 , 用矩形來近似代替
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