高二數學數形結合思想(已修改)
2024-11-28 16:43 本頁面
【正文】 3. 數形結合思想 數形結合思想是一種很重要的數學思想，數與 形是事物的兩個方面，正是基于對數與形的抽象研究才產生了數 學這門學科，才能使人們能夠從不同側面認識事物， 把數量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數量關系的研究，這種解決問題過程中 “ 數 ” 與 “ 形 ” 相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想。數形結合思想 就是要使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來 . 華羅庚先生說過 : “數與形本是兩依倚 , 焉能分作兩邊飛 . 數缺形時少直觀 , 形少數時難入微 . ” , “切莫忘 , 幾何代數統(tǒng) 一體 , 永遠聯(lián)系 , 切莫分離 . ” 高考對 數形結合思想的考查，一方面是通過解 析幾何或者平面向量考查對一些幾何問題如何用代數方法來處理 ，另一方面，有一些代數問題則依靠幾何圖形的構造和分析幫助解決，下面僅介紹 200 4 年高考試題中用圖形幫助解題的一些例子。 在使用的過程中，由 “ 形 ” 到 “ 數 ” 的轉化，往往比較明顯，而由 “ 數 ” 到 “ 形 ”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由 “ 數 ” 到“ 形 ” 的轉化。 考試中心對考試大綱的說明中強調： “ 在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數形結合的思想 提供了方便 ，能突出考查考生將復雜的數量關系轉化為直觀的幾何圖形問題來 解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數量關系問題的研 究仍突出代數的方法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數形結合思想的考查以由 ? 形 ? 到 ? 數 ? 的轉化為主 . ” 這里 只討論運用圖形分析幫助解決問題的例子 . 1. 對于方程或方程組 的 解的個數問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數 . 【 例 1 】 ( 200 5 年，上海卷 ) 設定義域為 R 的函數???????1,01||,1|lg|)(xxxxf，則關于x的方程0)()(2 ??? cxbfxf有 7 個不同實數解的充要條件是（ ） ( A) 0?b且0?c ( B )0?b且0?c ( C )0?b且0?c ( D )0?b且0?c 【 分析及解 】 畫出函數? ?xf的圖 象 （圖 3 1 ） , 該圖像關于1x ?對稱 , 且? ? 0?xf, 令? ? txf ?, 若0)()(2 ??? cxbfxf有 7 個不同實數解 , 則方程02 ??? cbtt有 2 個不同實數解 , 且為一正根 , 一零根 . 因此 , 0?b且0?c, 故選 ( C ) . 圖 3 1【 例 2 】 （ 2020 湖北卷） 兩個圓0222: 221 ????? yxyxC 與0124: 222 ????? yxyxC的公切線有且僅有（ ） A . 1 條 B . 2 條 C . 3 條 D . 4 條 【 分析及解 】 畫出圓1C和2C（圖 3 2 ） , 可知 , 兩圓相交 , 故只有兩條外公切線 . 圖 3 2 【例 3 】 ( 1991 全國卷 ) 圓0342 22 ????? yyxx 到直線01 ??? yx的距離等于2的點共有（ ） . （ A ） 1 個 ( B ) 2 個 ( C) 3 個 ( D) 4 個 【分析及解】 本題涉及到圓與直線的位置關系 , 為求點的個數 , 就要解方程組 ,有一定的 運 算量 , 但是 , 題目只要求點的個數 , 而不要求點的坐標 , 所以可以不解出方程 , 因此 , 可以借助于圖形求解 . 畫出圓? ? ? ? ? ?222: 1 2 2 2C x y? ? ? ?, 圓心? ?1 , 2C ??直線01 ??? yx的距離 ? ?1 2 122d? ? ? ???, 所以過圓心? ?1 , 2C ??且與 直線01 ??? yx平行的直線與圓的交點,AB符合題目要求 . 又因為圓的半徑是22, 設半徑CD垂直于已知直線01 ??? yx, 則 D 到直線01 ??? yx的距離也是2, 于是點 D 也符合題目要求 . 因此 符合題目要求的點共有三個 : ,AB, D . 故選 ( C) . 圖 3 32. 對于 參數范圍的問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論 參數 的幾何意義 的 范圍 . 【例 1 】 ( 20 07 全國Ⅱ卷 , 理，文 ) 函數s i nyx?的一個單調增區(qū)間是（ ） A ．???????????， B ．3??????????， C ．??????????， D ．32?????????， 【分析及解】 只要畫出s i nyx?的圖象 （圖 3 4 ） , 就可以得到要選的選項 . 圖 3 4 【 例 2 】 （ 1989 全國卷） 設)( xf是定義在區(qū)間),( ????上以2為周期的函數，對于k ? Z，用kI表示區(qū)間]12,12( ?? kk，已知當0x ? I時，2)( xxf ?． （ Ⅰ ）求)( xf在kI上的解析表達式； （ Ⅱ ）對自然數k, 求集合?aMk ?使方程axxf ?)(在kI上有兩個不相等的實根 } ． 【 分析及解 】 （ Ⅰ ）由題意，? ? ? ? ? ?22,kf x x k x? ? ? I， （ Ⅱ ）代數解法需解方程? ?2 k a x??即方程 ? ? ? ?22 4 1 4 0g x x k x k? ? ? ? ? 在區(qū)間]12,12( ?? kk內有兩個不相等的實根，其充要條件是 ? ?? ?? ?224 1 16 0 ,412 1 2 1 ,22 1 0 ,2 1 0.kkkkkgkgk?? ? ? ? ????? ? ? ???????????由這個不等式組解得k的取值范圍 . 用數形結合思想則比較直觀 . 由圖 3 5 中 ， 立即可得 , a的取值范圍為10.21ak??? 圖 3 5【 例 3 】 （ 2020 湖南卷，理） 若圓0104422 ????? yxyx上至少有三個不同的點到直線0: ?? byaxl的距離為22, 則直線l的傾斜角的取值范圍是 ( ) . ( A ) 1 2 4????????， ( B )512 12????????，
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