高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題(已修改)
2025-08-17 18:29 本頁面
【正文】 高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題1．已知在實(shí)數(shù)域R上可導(dǎo)的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有若存在實(shí)數(shù)，使，求證：（1）；（2）上是單調(diào)函數(shù)證明：（1）又,（2）即在R上是單調(diào)遞增函數(shù).2．已知拋物線C的方程為為焦點(diǎn)，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，直線過P、F點(diǎn)。（1）求直線的斜率關(guān)于的解析式，并指出定義域；（2）求函數(shù)的反函數(shù)；（3）求與的夾角的取值范圍。（4）解不等式。解：（1） （2）（3）（4），∴原不等式為 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然，時(shí)，；當(dāng)時(shí)。3．已知二次函數(shù)有最大值且最大值為正實(shí)數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）定義與的差集：，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的三組值，使，并分別寫出所有滿足上述條件的（從大到?。?、（從小到大）依次構(gòu)成的數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式（不必證明）；（3）若函數(shù)中，（理）設(shè)、是方程的兩個根，判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請說明理由。（文）寫出的最大值，并判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請說明理由。解：（1）∵有最大值，∴.配方得，由.∴。（2）要使?？梢允耿僦杏?個元素，中有2個元素，.②中有6個元素，中有4個元素，中有2個元素。則.③中有9個元素,中有6個元素,..（3）（理），得.，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.∴在上單調(diào)遞增。.又，故沒有最小值。（文）∵單調(diào)遞增，∴，又，∴沒有最大值。4．已知函數(shù)是奇函數(shù)。(1)求m的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并加以證明；（3）當(dāng)時(shí)，的值域是，求的值.解:（1）m=－1（2）由（1），任取，. .上是減函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，上是增函數(shù).（2）當(dāng)a1時(shí)，要使的值域是，則，而a1，∴上式化為①又∴當(dāng)x1時(shí)，.當(dāng).因而，欲使的值域是，必須，所以對不等式①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. .5．|AB|=|xBxA|表示數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的距離，它也可以看作滿足一定條件的一種運(yùn)算。這樣，可以將滿足下列三個條件的一個x與y間的運(yùn)算p(x,y)叫做x,y之間的距離：條件一，非負(fù)性p(x,y)≥0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y；條件二，交換律p(x,y)=p(y,x)。條件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).試確定運(yùn)算s(x,y)=是否為一個距離？是，證明；不是，舉出反例。解：要說明s(x,y)是否為距離，只要驗(yàn)證它是否滿足三條即可s(x,y)=≥0等號成立當(dāng)且僅當(dāng)|xy|=0,即x=y ，第一條滿足s(x,y)===s(y,x) ，第二條也滿足s(x,z)=∵函數(shù)f(x)==1(或)在x0上單調(diào)增，且|xz|≤|xy|+|yz|(8分）∴s(x,z)≤=+≤+=s
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