【正文】 第二章 隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù) 第一節(jié) 隨 機(jī) 變 量 在上一章中，我們把隨機(jī)事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念，用隨機(jī)變量的取值來描述隨機(jī)事件。 一、隨機(jī)變量 引例： E1: 將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。 e1=（正，正） 2 e2=（正，反） 1 e3=（反，正 ) 1 e4=（反，反） 0 令 X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)”， 則 X是一個隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對應(yīng)關(guān)系如下： 由上可知，對每一個樣本點(diǎn) e，都有一個 X的取值 X(e) 基本結(jié)果 (e) 正面出現(xiàn)的次數(shù) X(e) 與之對應(yīng)。 我們把 X稱為定義在這個試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。 E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 令 X=“正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)” E3：某產(chǎn)品的使用壽命 X,X=0. ????反面正面令,0,1X E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況 . 一般地，對每一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一個變量 X，使得試驗(yàn)的每一個樣本點(diǎn)都有一個 X的取值 X(e)與之對應(yīng)，這樣 就得到隨機(jī)變量的概念 . 隨機(jī)變量的定義 : 設(shè) E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為 S={e}，在 E上引入一個變量 X，如果對 S中每一個樣本點(diǎn) e，都有 一個 X的取值 X(e)與之對應(yīng)，我們就 稱 X為定義在隨機(jī)試驗(yàn) E的一個 隨機(jī)變量 . （ 2）引入隨機(jī)變量的目的： 用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。 事件“正面至少出現(xiàn)一次”可表示為 :“X≥1”； 隨機(jī)變量的說明 （ 1） 隨機(jī)變量的表示： 常用字母 X,Y,Z， …. 表示 。 例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次”可表示為 : “0X≤2”表示事件“正面至少出現(xiàn)一次”。 “X=2” ； 例如：上例中 P(X=2)=1/4； P(X≥ １ )=3/4； P(0X ≤ 2)=3/4； ?隨機(jī)變量的取值具有一定的概率 ： (4)隨機(jī)變量的類型： 這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時注意它們各自的特點(diǎn)及描述方式的不同。 ?具有隨機(jī)性 :在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部可能的取值。 （ 3） 隨機(jī)變量的特點(diǎn) : 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量 。 例 1?（ 用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件） 一報童賣報，每份報 , 其成本為 。 報館每天給報童 1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。 解：分析 {報童賠錢 } {賣出報紙的錢不夠成本 } 當(dāng) X1000 ，報童賠錢 . 故 {報童賠錢 } {X 600} ? ? 令 X=“報童每天賣出的報紙份數(shù)” 試將“報童賠錢”這一事件用 X的取值表示出來。 （ 1）隨機(jī)變量 X可能取哪些值？ （ 2）隨機(jī)變量 X取某個值的概率是多大？ 隨機(jī)變量的概率分布 引入隨機(jī)變量后 , 上述說法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑? 對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情： （ 1）試驗(yàn)會發(fā)生一些什么事件？ （ 2）每個事件發(fā)生的概率是多大？ 對一個隨機(jī)變量 X，若給出了以上兩條，我們就說給出了 隨機(jī)變量 X的概率分布 (也稱分布律）。 這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí) 離散型隨機(jī)變量 與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 . 167。 2 離散型隨機(jī)變量及其分布 如果隨機(jī)變量 X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則 稱 X為離散型隨機(jī)變量。 一、 離散型隨機(jī)變量的定義及其分布律 定義 的分布律 要掌握一個離散型隨機(jī)變量的分布律，必須 且只需知道以下兩點(diǎn)： (1) X所有可能的取值 : (2)X取每個值時的概率 : ??? ,3,2,1,)( , 21 ???? kpxXP xxxXkkk稱 (1) 式為 離散型隨機(jī)變量 X的分布律 . )1(,3,2,1)( ???? kpxXP kk注 :離散型 隨機(jī)變量 X的分布律可用公式法和表格法描述。 1)公式法 : 2) 表格法 : ?,3,2,1)( ??? kpxXP kk? ? 2 1 k p p p x x X 2 1 X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4 例 1： 將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次數(shù) X ”的分布律。 解： 在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有： e1=（正，正）； e2=（正，反）； e3=（反，正 ) ； e4=（反，反）。 于是，正面出現(xiàn)的次數(shù) X ”的分布律： 圖形表示 程序 x=[0, 1, 2]。 pk=[1/4,2/4,1/4]。 figure(39。color39。,39。w39。) plot(x,pk,39。r.39。,39。MarkerSize39。,31) ylim([0 ]) xlim([0,]) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),39。FontSize39。,21)。 text(x(2),pk(2), num2str(pk(2)),39。FontSize39。,21)。 text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),39。FontSize39。,21)。 figure(39。color39。,39。w39。) plot(x,pk,39。r.39。,39。MarkerSize39。,31) hold on plot(x,pk,39。r.39。) ylim([0 ]) hold off xlim([0,]) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),39。FontSize39。,21)。 text(x(2),pk(2), num2str(pk(2)),39。FontSize39。,21)。 text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),39。FontSize39。,21)。 figure(39。color39。,39。w39。) bar(x,pk,39。r39。) ylim([0 ]) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),39。FontSize39。,21)。 xlim([0,]) text(x(2),pk(2), num2str(pk(2)),39。FontSize39。,21)。 text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),39。FontSize39。,21)。 figure(39。color39。,39。w39。) stem(x,pk,39。r.39。,39。MarkerSize39。,31) ylim([0 ]) xlim([0,]) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),39。FontSize39。,21)。 text(x(2),pk(2), num2str(pk(2)),39。FontSize39。,21)。 text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),39。FontSize39。,21)。 離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì) 例２ : 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為： 1)2,3,2,1,0)1????kkkpkp ?.10,2,1,10)( ???? kakXP試求常數(shù) a. .11101?????apkk解：由為常數(shù)。0, . . . . ,2,1,0,!)( ???? ?? kkakXPk例 3: 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為： xkkekx ???? 0 !提示：試求常數(shù) a. 0 0 01,!!.kkkk k kp a a aekkae????? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ?解 ： 由得 ，練習(xí) :設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為： ?,3,2,1,)32(}{ ??? kbkXp k試確定常數(shù) b. 解：由分布律的性質(zhì)，有 ????????11)32()(kkkbkXP121 3232????? bb21?? b ???解： X所有可能的取值為： 0， 1， 2， 3； }{}{ 取到正品；取到次品令 ?? AA)(,)( ?? APAP則：)()0( AAAPXP ??)()1( AAAAAAAAAPXP ????例 4: 設(shè)有產(chǎn)品 100件，其中 3件是次品。從中有放回 地任取 3件，求“取得次品件數(shù) X ”的分布律。 2113 ?? C? 303 ?3,2,1,0,)( 33 ??? ? kCkXP kkk 2 ??? 223 ?? C333 ?)()2( AAAAAAAAAPXP ???? 這個分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來看一個重要的試驗(yàn) ——伯努利（ Bernoulli）試驗(yàn)。 )()3( ??? AAAPXP二、伯努利（ Bernoulli）試驗(yàn)及二項(xiàng)分布 (1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 伯努利（ Bernoulli）試驗(yàn) 將試驗(yàn) E重復(fù)進(jìn)行 n次 ,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互 不影響 ,則稱這 n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 . (2)n重 伯 努利試驗(yàn) 滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（ Bernoulli）試驗(yàn) : ① 每次試驗(yàn)都在相同的條件下 重復(fù) 進(jìn)行； ② 每次試驗(yàn)只有 兩個 可能的結(jié)果 :A及 ③ 每次試驗(yàn)的結(jié)果相互 獨(dú)立。 nkppCkXP knkkn , . . . ,2,1,0,)1()( ???? ? 若用 X表示 n重伯努利試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 則 n次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生 k次的概率為： 證明： 在 n重伯努利試驗(yàn)中，事件 A在前 k次出現(xiàn)，而在后 nk次不出現(xiàn)的概率為 : 若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行 n次 ,則稱這一串試驗(yàn)為 n重伯努利 (Bernoulii)試驗(yàn)。 .)(