數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)(已修改)
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【正文】 2022/8/19 1 統(tǒng)計(jì)的基本概念 參數(shù)估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)描述和統(tǒng)計(jì)推斷 2022/8/19 2 1 、 表示位置的統(tǒng)計(jì)量—平均值和中位數(shù) 平均值 （或均值，數(shù)學(xué)期望）： ???niiXnX11 中位數(shù) ：將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個(gè)數(shù)值 .2 、 表示變異程度的統(tǒng)計(jì)量—標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差 標(biāo)準(zhǔn)差 ：2112])(11[ ?????niiXXns 它是各個(gè)數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量 . 方差 ：標(biāo)準(zhǔn)差的平方 . 極差 ：樣本中最大值與最小值之差 .一、統(tǒng)計(jì)量 2022/8/19 3 3 . 表示分布形狀的統(tǒng)計(jì)量—偏度和峰度偏度 ： ????niiXXsg1331)(1 峰度 ： ????niiXXsg1442)(1 偏度反映分布的對(duì)稱性， g1 0 稱為右偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多； g1 0 稱為左偏態(tài)，情況相反；而 g1接近 0則可認(rèn)為分布是對(duì)稱的 . 峰度是分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為 3 ，若 g2比 3大很多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一 . 4 . k 階原點(diǎn)矩 ： ???nikikXnV11 k 階中心矩 ： ????nikikXXnU1)(12022/8/19 4 二、分布的近似求法 頻率直方圖法 1 、 整理資料 ： 把樣本值 x 1 ， x 2 ， ? ， x n 進(jìn)行分組，先將它們依大小次序排列，得**2*1 nxxx ??? ? . 在包含 ],[**1 nxx 的區(qū)間 [a ， b] 內(nèi)插入一些等分點(diǎn)：,39。39。239。1 bxxxa n ????? ? 注意要使每一個(gè)區(qū)間 ],( 39。 139。 ?ii xx （ i =1 ， 2 ， ? ， n 1 ）內(nèi)都有樣本觀測值 x i （ i =1 ， 2 ， ? ， n 1 ）落入其中 .2 、求出各組的頻數(shù)和頻率 ：統(tǒng)計(jì)出樣本觀測值在每個(gè)區(qū)間 ],( 39。 139。 ?ii xx 中出現(xiàn)的次數(shù) in ，它就是這區(qū)間或這組的頻數(shù) . 計(jì)算頻率nnf ii ? .3 、作頻率直方圖 ：在直角坐標(biāo)系的橫軸上，標(biāo)出39。39。239。1 , nxxx ? 各點(diǎn)，分別以],( 39。 139。 ?ii xx 為底邊，作高為39。iixf?的矩形， 1,2,1,39。39。139。 ?????? nixxx iii ? , 即得頻率直方圖 .2022/8/19 5 三、幾個(gè)在統(tǒng)計(jì)中常用的概率分布 4 2 0 2 4 6 0 正態(tài)分布 ) , ( 2 s m N 密度函數(shù)： 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p ? ? ? x e x p 分布函數(shù)： dy e x F y x 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p ? ? ? ? ? ? 其中 m 為均值， 2 s 為方差， ?? ? ? ? ? x . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： N （ 0， 1） 密度函數(shù) 2 2 2 1 ) ( x e x ? ? p j dy e x y x 2 2 2 1 ) ( ? ? ? ? ? F p ， 分布函數(shù) 2022/8/19 6 0 5 10 15 2002 、2?分布2?（ n ） 若隨機(jī)變量 X 1 ， X 2 ， ? X n 相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N （ 0 ， 1 ），則隨機(jī)變量 Y =22221 nXXX ??? ? 服從自由度為 n 的2?分布，記為 Y~2?（ n ） . Y 的均值為 n ，方差為 2 n . 2022/8/19 7 3 、 t 分布 t （ n ） 若 X ~ N （ 0 ， 1 ）， Y~2?（ n ） ，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 nYXT ? 服從自由度為 n 的 t 分布，記為 T ~ t （ n ） . t 分布 t （ 20 ）的密度函數(shù)曲線和 N （ 0 ， 1 ）的 曲線形狀相似 . 理論上 n ?? 時(shí)， T ~ t （ n ） ? N （ 0 ， 1 ） . 6 4 2 0 2 4 602022/8/19 8 4 . F 分布 F （ n1， n2） 若 X~2?（ n1）， Y~2?（ n2），且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 21nYnXF ? 服從自由度為（ n1， n2）的 F 分布，記作 F ~ F （ n1， n2） . 由 F 分布的定義可以得到 F 分布的一個(gè)重要性質(zhì)： 若 F ~ F （ n1， n2），則),(~112nnFF 0 1 2 301返回 F分布 F（ 10， 50）的密度函數(shù)曲線 2022/8/19 9 無論總體 X 的分布函數(shù) F （ x ；k??? , 21 ?）的類型已知或未知，我們總是需要去估計(jì)某些未知參數(shù)或數(shù)字特征，這就是參數(shù)估計(jì)問題 . 即參數(shù)估計(jì)就是從樣本（ X1， X2， ? ， Xn）出發(fā)，構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量(?i?X1，X2， ? ， Xn）（ i =1 ， 2 ， ? ， k ）去估計(jì)總體 X 中的某些參數(shù)（或數(shù)字特征）i?（ i =1 ， 2 ， ? ， k ） . 這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為 估計(jì)量 . 點(diǎn)估計(jì) ：構(gòu)造（ X1， X2， ? ， Xn）的函數(shù)(?i?X1， X2， ? ， Xn） 作為參數(shù)i?的點(diǎn)估計(jì)量，稱統(tǒng)計(jì)量i??為總體 X 參數(shù)i?的點(diǎn)估計(jì)量 . 區(qū)間估計(jì) ：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)(1i? X1， X2， ? ， Xn）和(2i? X1， X2， ? ， Xn）做成區(qū)間，把這（21 , ii ??）作為參數(shù)i?的區(qū)間估計(jì) . 2022/8/19 10 一、點(diǎn)估計(jì)的求法 (一）矩估計(jì)法 假設(shè)總體分布中共含有 k 個(gè)參數(shù)，它們往往是一些原 點(diǎn)矩或一些原點(diǎn)矩的函數(shù)，例如，數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩， 方差是二階原點(diǎn)矩與一階原點(diǎn)矩平方之差等 . 因此，要想估計(jì) 總體的某些參數(shù)i?（ i = 1 ， 2 ， ? k ），由于 k 個(gè)參數(shù)一定可以 表為不超過 k 階原點(diǎn)矩的函數(shù)，很自然就會(huì)想到用樣本的 r 階原點(diǎn)矩去估計(jì)總體相應(yīng)的 r 階原點(diǎn)矩，用樣本的一些原點(diǎn) 矩的函數(shù)去估計(jì)總體的相應(yīng)的一些原點(diǎn)矩的函數(shù)，再將 k 個(gè) 參數(shù)反解出來，從而求出各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值 . 這就是矩估計(jì)法， 它是最簡單的一種參數(shù)估計(jì)法 . 2022/8/19 11 (二）極大似然估計(jì)法 極大似然法 的想法是 : 若抽樣的結(jié)果得到樣本觀測值 x1,x2, ? ,xn, 則我們應(yīng)當(dāng)這樣選取參數(shù)i?的值 , 使 這 組 樣 本 觀 測 值 出 現(xiàn) 的 可 能 性 最 大 . 即 構(gòu) 造 似 然 函 數(shù) ：)()()(),(),( 2211221121 nnnnk xXPxXPxXPxXxXxXPL ???????? ??? ??? ),(),(),(),( 1111211 kniiknkk x
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