數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程ch(3)(已修改)
2025-05-29 02:13 本頁面
【正文】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程 第六章 主講教師：李學(xué)京 北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。它研究如何以有效的方式收集、整理和分析 帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù) ，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預(yù)測，為采取正確的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。 第六章 樣本及抽樣分布 167。 引言 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出其規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀察，隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性就一定能夠清楚地呈現(xiàn)出來。 但是，客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察或試驗(yàn)，也就是說：我們獲得的只能是局部的或有限的觀察資料。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究 “如何有效地收集、整理和分析所獲得的有限資料，并對所研究的問題盡可能地給出精確而可靠的推斷”。 現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法。 因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的。概括起來可以歸納成兩大類。 參數(shù)估計(jì) : 根據(jù)數(shù)據(jù)，對分布中的未知參數(shù) 進(jìn)行估計(jì)； 假設(shè)檢驗(yàn) : 根據(jù)數(shù)據(jù)，對分布的未知參數(shù)的 某種假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn) 構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式， 這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個(gè)分支。 167。 總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱研究問題所涉及對象的全體為 總體 ，總體中的每個(gè)成員為 個(gè)體 。 例如 : 研究某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的廢品率，則這種產(chǎn)品的全體就是總體，而每件產(chǎn)品都是一個(gè)個(gè)體。 總體、個(gè)體與樣本 實(shí)際上，我們真正關(guān)心的并不一定是總體或個(gè)體本身，而 真正關(guān)心的 是 總體或個(gè)體的 某項(xiàng) 數(shù)量指標(biāo)。 如： 某電子產(chǎn)品的使用壽命，某天的最高氣溫，加工出來的某零件的長度等數(shù)量指標(biāo)。因此， 有時(shí)也將總體理解為那些研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體 。 為評(píng)價(jià)某種產(chǎn)品質(zhì)量的好壞，通常的做法是：從全部產(chǎn)品中隨機(jī) (任意 )地抽取一些樣品進(jìn)行觀測 (檢測 )，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱這些樣品為一個(gè)樣本。 同樣 ,我們也將樣本的數(shù)量指標(biāo)稱為樣本。因此，今后當(dāng)我們說到總體及樣本時(shí)，既指研究對象又指它們的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 例 1： 研究某地區(qū) N 個(gè)農(nóng)戶的年收人。 在這里，總體既指這 N 個(gè)農(nóng)戶，又指我們所關(guān)心的 N個(gè)農(nóng)戶的 數(shù)量指標(biāo) ── 他們的年收入 ( N 個(gè)數(shù)字 )。 如果從這 N 個(gè)農(nóng)戶中隨機(jī)地抽出 n 個(gè)農(nóng)戶作為調(diào)查對象，那么，這 n 個(gè)農(nóng)戶以及他們的數(shù)量指標(biāo) ── 年收入 ( n個(gè)數(shù)字 )就是樣本。 注意：上例中的總體是直觀的，看得見、摸得著的。但是，客觀情況并非總是這樣。 例 2： 用一把尺子測量一件物體的長度。 假定 n 次測量值分別為 X1,X2 ,? ,Xn。顯然，在該問題中，我們把測量值 X1,X2 ,? ,Xn看成樣本。但總體是什么呢 ? 事實(shí)上，這里沒有一個(gè)現(xiàn)實(shí)存在的個(gè)體的集合可以作為上述問題的總體?？墒?，我們可以這樣考慮，既然 n 個(gè)測量值 X1,X2,? ,Xn 是樣本，那么，總體就應(yīng)該理解為 一切所有可能的測量值的全體。 又如： 為研究某種安眠藥的藥效，讓 n 個(gè)病人同時(shí)服用這種藥，記錄服藥者各自服藥后的睡眠時(shí)間比未服藥時(shí)增加睡眠的小時(shí)數(shù) X1,X2,? ,Xn， 則這些數(shù)字就是樣本。 那么，什么是總體呢 ? 設(shè)想讓某個(gè)地區(qū) (或某國家，甚至全世界 )所有患失眠癥的病人都服用此藥，則他們所增加睡眠的小時(shí)數(shù)之全體就是研究問題的總體。 對一個(gè)總體，如果用 X表示其數(shù)量指標(biāo)，那么， X的值對不同的個(gè)體就取不同的值。因此，如果我們隨機(jī)地抽取個(gè)體，則 X的值也就隨著抽取個(gè)體的不同而不同。 所以， X是一個(gè)隨機(jī)變量 ! 既然總體是隨機(jī)變量 X，自然就有其概率分布。我們把 X的分布稱為 總體分布。 總體的特性是由總體分布來刻畫的。因此，常把總體和總體分布視為同義語。 . 總體分布 例 3 (例 l 續(xù) )： 在例 l中，若農(nóng)戶年收入以萬元計(jì)，假定 N戶的收入 X只取以下各值 : , , , 。取上述值的戶數(shù)分別 n1, n2, n3, n4和 n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。則 X為離散型分布，分布律為 : X 1 1 ?? p k
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