【正文】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程 第十章 主講教師：程維虎教授 北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 什么是“隨機(jī)過(guò)程”？ ? 確定性過(guò)程：事物的變化過(guò)程可以用一個(gè)時(shí)間 t的確定函數(shù)來(lái)描述。比如：物體的自由落體過(guò)程。 ? 不確定過(guò)程：沒(méi)有確定的變化規(guī)律，即這類事物的變化過(guò)程不能用一個(gè)時(shí)間 t的確定性函數(shù)來(lái)描述。 ? 如果對(duì)該事物的變化全過(guò)程進(jìn)行一次觀測(cè)，可得到一個(gè)時(shí)間 t的函數(shù)，但是若對(duì)該事物的變化過(guò)程重復(fù)的獨(dú)立的進(jìn)行多次觀測(cè)，則每次得到的結(jié)果是不同的。 ? 從另一個(gè)角度來(lái)看，如果固定某一個(gè)觀測(cè)時(shí)刻 t，事物在時(shí)刻 t出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機(jī)的。 例 1電話問(wèn)題： 我們用 X(t)表示在時(shí)刻 t前電話局接到的呼喚次數(shù)。如果固定時(shí)間 t，則 X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量；但是 t是可變參數(shù)，是一個(gè)連續(xù)變量，所以 X(t)是一個(gè)過(guò)程。因此，這個(gè)問(wèn)題所涉及的不僅是一個(gè)隨機(jī)變量的問(wèn)題，它是隨機(jī)的，又是一個(gè)過(guò)程。 例 2液面上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)： 我觀測(cè)液面上一個(gè)做布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn) A,若用 {X(t),Y(t)}表示在時(shí)刻 t該質(zhì)點(diǎn)在液面上的坐標(biāo)位置。當(dāng) t固定時(shí)， {X(t),Y(t)} 是一對(duì)二維隨機(jī)變量。而 t是一個(gè)連續(xù)變量，因此 {X(t),Y(t)}又是一個(gè)過(guò)程。 例 3 熱噪聲電壓 : 電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子(如電子 )的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓 ,它在任一確定時(shí)刻 t 的值都是一隨機(jī)變量 , 記為 V(t)。不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的隨機(jī)變量。當(dāng)時(shí)間在某個(gè)區(qū)間 , 如 [0, ∞)上變化時(shí)，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī)變量 ,記為 {V(t), t≥0}。 在無(wú)線電通訊技術(shù)中，接收機(jī)在接收信號(hào)時(shí)，機(jī)內(nèi)的熱噪聲電壓要對(duì)信號(hào)產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時(shí)間變化的過(guò)程。為此，我們通過(guò)某種裝置對(duì)元件 (或器件 )兩端的熱噪聲電壓進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量，并把結(jié)果自動(dòng)記錄下來(lái)。 作一次試驗(yàn) ( 測(cè)量一此長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的熱噪聲電壓 )，得到一個(gè) 電壓 —時(shí)間 函數(shù) v1(t) , t 0 (如圖 101)。這個(gè) 電壓 —時(shí)間 函數(shù)在試驗(yàn)前是不可能預(yù)先確知的，只有通過(guò)測(cè)量才能得到。 圖 101 如果在相同條件下獨(dú)立地再進(jìn)行一次測(cè)量，得到的記錄可能是不同的。 事實(shí)上，在相同條件下每次測(cè)量都將產(chǎn)生不同的 電壓 —時(shí)間 函數(shù)。這樣，不斷獨(dú)立地一次次重復(fù)測(cè)量，就得到一族不同的 電壓 —時(shí)間 函數(shù)，這族函數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。 圖 101 隨機(jī)過(guò)程：依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。 設(shè) T 是一個(gè)無(wú)限實(shí)數(shù)集。我們把依賴于參數(shù) t ∈ T 的一族 (無(wú)限多個(gè) ) 隨機(jī)變量收集在一起，稱為 隨機(jī)過(guò)程 ， 記成 { X(t), t ∈ T }。 這里，對(duì)每一個(gè) t ∈ T， X(t) 都是一個(gè)隨機(jī)變量。 T 稱為 參數(shù)集 。常把 t 看作為時(shí)間，稱 X(t) 為 t 時(shí)刻 過(guò)程的 狀態(tài) ，稱 X(t1)＝ x (實(shí)數(shù) ) 為 t ＝ t1 時(shí)過(guò)程 處于狀態(tài) x。 對(duì)于一切 t ∈ Ｔ , X(t) 所有可能取得一切值的全體稱為隨機(jī)過(guò)程的 狀態(tài)空間 。 對(duì)隨機(jī)過(guò)程 { X(t)， t ∈ T } 進(jìn)行一次試驗(yàn) (即在 T上進(jìn)行一次全程觀測(cè) )，其結(jié)果是 t 的函數(shù)，記為 x(t)， t∈ T， 稱它為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè) 樣本函數(shù) 或 樣本曲線 。 所有不同的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一族 (可以只包括有限個(gè)，如本節(jié)例 1) 樣本函數(shù)。 隨機(jī)過(guò)程可以看作是多維隨機(jī)變量的延伸。隨機(jī)過(guò)程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計(jì)中總體與樣本的關(guān)系一樣。 依照上面的說(shuō)法，熱噪聲電壓的變化過(guò)程 {Ｖ (t)， t≥０ }是一隨機(jī)過(guò)程，它的狀態(tài)空間是 (∞, +∞)，一次觀測(cè)到的 電壓 —時(shí)間 函數(shù)就是這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)。 在以后的敘述中，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)：常以 X(t)， t ∈Ｔ 表示隨機(jī)過(guò)程。在上下文不致混淆的情形下，一般略去記號(hào)中的參數(shù)集 T。 例 1 拋一枚硬幣試驗(yàn)，樣本空間是 S={H,T}，定義 ,).( 出 現(xiàn) 出 現(xiàn)co s)( ????????? ，，tTtHπttX其中 P(H) = P(T)=1/2。對(duì)任意固定的 t, X(t)是一定義在 S上的隨機(jī)變量；對(duì)不同的 t， X(t)是不同的隨機(jī)變量 (見(jiàn)圖 102)，所以 {X(t)， t ∈ (∞, +∞) } 是一族隨機(jī)變量，即是隨機(jī)過(guò)程。 作一次試驗(yàn)，若出現(xiàn) H，樣本函數(shù) x1(t) = cosπ t；若出現(xiàn) T，樣本函數(shù) x2(t)=t。故，隨機(jī)過(guò)程對(duì)應(yīng)的一族樣本函數(shù)僅包含兩個(gè)函數(shù) : {cosπ t, t} 。顯然，這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間為 (∞, +∞)。 圖 102 例 2 考慮 式中 α ,ω 是正常數(shù)， Θ是在 (0,2π )上服從均勻分布的隨機(jī)變量。 顯然，對(duì)任一固定的時(shí)刻 t1, X(t1) = α cos(ω t1+ Θ)是一個(gè)隨機(jī)變量。因而，由 ()式確定的 X(t)是一隨機(jī)過(guò)程，通常稱它為 隨機(jī)相位正弦波 。其狀態(tài)空間是[α, α]。在 (0, 2π)內(nèi)隨機(jī)地取一數(shù) θi , 相應(yīng)的樣本函數(shù)是 圖 103中畫(huà)出了這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的兩條樣本曲線。 ( 1 . 1 ) )( ),(),c o s ( ???????? tttX ??).2,0(),co s ()( ????? i ??? ii ttx圖 103 例 3 在測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離時(shí)，存在隨機(jī)誤差。若以 ε (t)表示在時(shí)刻 t 的測(cè)量誤差，則它是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)目標(biāo)隨時(shí)間 t 按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)量誤差 ε (t) 也隨時(shí)間 t 而變化。換句話說(shuō) , ε (t)是依賴于 t 的一族隨機(jī)變量，亦即 {ε (t), t≥0}是一隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài)空間是 (∞, +∞)。 例 4 設(shè)某市 120急救電話臺(tái)不斷地接到用戶的呼叫，若以 X(t)表示時(shí)間間隔 (0, t]內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量，且對(duì)不同的 t≥0, X(t)可能是不同的隨機(jī)變量。故， {X(t), t ≥０ }是一隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài)空間是 {0, 1, 2, ? }。 例 5 考慮擲一顆 骰子 試驗(yàn)。 (1). 設(shè) Xn是第 n 次 (n≥1)擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于 n=1, 2, ? 的 不同值 , Xn是不同的隨機(jī)變量，因而 {Xn, n≥1} 構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程 , 稱為伯努力過(guò)程 , 或伯努力隨 機(jī)序列。狀態(tài)空間都是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 (2). 設(shè) Xn是前 n次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，則 {Xn, n ≥1}也 是一隨機(jī)過(guò)程。狀態(tài)空間是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 隨機(jī)過(guò)程可依其在任意時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量或離散型隨機(jī)變量而分成 連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程 或 離散型隨機(jī)過(guò)程 。 熱噪聲電壓、例 2和例 3是連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程，例 1,例 4和例 5是離散型隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程還可依時(shí)間 (參數(shù) )是連續(xù)或離散進(jìn)行分類。當(dāng)時(shí)間集 T是有限或無(wú)限區(qū)間時(shí)，稱 {X(t), t ∈ T}為 連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程 (以下如無(wú)特別指明，隨機(jī)過(guò)程總是指連續(xù)參數(shù)而言的 )；如果 T是離散集合，例如 T= {0, 1, 2, ? }，則稱 {X(t), t∈ T}為離散參數(shù)隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)序列，此時(shí)常記成 {Xn, n =0,1,2, ? }等，如例 5。 有時(shí)，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實(shí)際中也常將連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)序列處理。例如 ,我們只在時(shí)間集 T={△ t, 2△ t, ? , n△ t, ? }上觀察電阻的熱噪聲電壓 Ｖ (t)， 這時(shí)就得到一個(gè)隨機(jī)序列 {V1, V2, ? ,Vn, ? }，其中 Vn=V(n△ t)。 顯然，當(dāng)△ t充分小時(shí)，這個(gè)隨機(jī)序列能夠近似地描述連續(xù)時(shí)間情況下的熱噪聲電壓。 需注意的是：參數(shù) t 雖然通常解釋為時(shí)間，但它也可以表示其它的量。諸如：序號(hào)、距離等。如例 5中，假定每隔一個(gè)單位時(shí)間擲 一次 骰子 ，則第 n次擲出的點(diǎn)數(shù) Xn就相當(dāng)于 t=n時(shí) 骰子 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 167。 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量，由此可以利用隨機(jī)變量 (一維或多維 )的統(tǒng)計(jì)描述方法來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族 給定隨機(jī)過(guò)程 { X(t), t ∈ T }，對(duì)每個(gè)固定的 t ∈ T, 隨機(jī)變量 X(t)的分布函數(shù)一般與 t 有關(guān)，記為 .},)({),( RxxtXPtxF X ??? 稱其為隨機(jī)過(guò)程 {X