【正文】 數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程 第十章 主講教師：程維虎教授 北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 什么是“隨機過程”？ ? 確定性過程：事物的變化過程可以用一個時間 t的確定函數(shù)來描述。比如：物體的自由落體過程。 ? 不確定過程：沒有確定的變化規(guī)律，即這類事物的變化過程不能用一個時間 t的確定性函數(shù)來描述。 ? 如果對該事物的變化全過程進行一次觀測，可得到一個時間 t的函數(shù)，但是若對該事物的變化過程重復(fù)的獨立的進行多次觀測，則每次得到的結(jié)果是不同的。 ? 從另一個角度來看，如果固定某一個觀測時刻 t，事物在時刻 t出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機的。 例 1電話問題： 我們用 X(t)表示在時刻 t前電話局接到的呼喚次數(shù)。如果固定時間 t，則 X(t)是一個隨機變量；但是 t是可變參數(shù)，是一個連續(xù)變量，所以 X(t)是一個過程。因此，這個問題所涉及的不僅是一個隨機變量的問題，它是隨機的，又是一個過程。 例 2液面上質(zhì)點的運動： 我觀測液面上一個做布朗運動的質(zhì)點 A,若用 {X(t),Y(t)}表示在時刻 t該質(zhì)點在液面上的坐標(biāo)位置。當(dāng) t固定時， {X(t),Y(t)} 是一對二維隨機變量。而 t是一個連續(xù)變量，因此 {X(t),Y(t)}又是一個過程。 例 3 熱噪聲電壓 : 電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子(如電子 )的隨機運動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓 ,它在任一確定時刻 t 的值都是一隨機變量 , 記為 V(t)。不同時刻對應(yīng)不同的隨機變量。當(dāng)時間在某個區(qū)間 , 如 [0, ∞)上變化時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機變量 ,記為 {V(t), t≥0}。 在無線電通訊技術(shù)中，接收機在接收信號時，機內(nèi)的熱噪聲電壓要對信號產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時間變化的過程。為此，我們通過某種裝置對元件 (或器件 )兩端的熱噪聲電壓進行長時間的測量，并把結(jié)果自動記錄下來。 作一次試驗 ( 測量一此長時間內(nèi)的熱噪聲電壓 )，得到一個 電壓 —時間 函數(shù) v1(t) , t 0 (如圖 101)。這個 電壓 —時間 函數(shù)在試驗前是不可能預(yù)先確知的，只有通過測量才能得到。 圖 101 如果在相同條件下獨立地再進行一次測量，得到的記錄可能是不同的。 事實上，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的 電壓 —時間 函數(shù)。這樣，不斷獨立地一次次重復(fù)測量，就得到一族不同的 電壓 —時間 函數(shù)，這族函數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。 圖 101 隨機過程：依賴于一個變動參量的一族隨機變量。 設(shè) T 是一個無限實數(shù)集。我們把依賴于參數(shù) t ∈ T 的一族 (無限多個 ) 隨機變量收集在一起，稱為 隨機過程 ， 記成 { X(t), t ∈ T }。 這里，對每一個 t ∈ T， X(t) 都是一個隨機變量。 T 稱為 參數(shù)集 。常把 t 看作為時間，稱 X(t) 為 t 時刻 過程的 狀態(tài) ，稱 X(t1)＝ x (實數(shù) ) 為 t ＝ t1 時過程 處于狀態(tài) x。 對于一切 t ∈ Ｔ , X(t) 所有可能取得一切值的全體稱為隨機過程的 狀態(tài)空間 。 對隨機過程 { X(t)， t ∈ T } 進行一次試驗 (即在 T上進行一次全程觀測 )，其結(jié)果是 t 的函數(shù)，記為 x(t)， t∈ T， 稱它為隨機過程的一個 樣本函數(shù) 或 樣本曲線 。 所有不同的試驗結(jié)果構(gòu)成一族 (可以只包括有限個，如本節(jié)例 1) 樣本函數(shù)。 隨機過程可以看作是多維隨機變量的延伸。隨機過程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計中總體與樣本的關(guān)系一樣。 依照上面的說法，熱噪聲電壓的變化過程 {Ｖ (t)， t≥０ }是一隨機過程，它的狀態(tài)空間是 (∞, +∞)，一次觀測到的 電壓 —時間 函數(shù)就是這個隨機過程的一個樣本函數(shù)。 在以后的敘述中，為簡便起見：常以 X(t)， t ∈Ｔ 表示隨機過程。在上下文不致混淆的情形下，一般略去記號中的參數(shù)集 T。 例 1 拋一枚硬幣試驗，樣本空間是 S={H,T}，定義 ,).( 出 現(xiàn) 出 現(xiàn)co s)( ????????? ，，tTtHπttX其中 P(H) = P(T)=1/2。對任意固定的 t, X(t)是一定義在 S上的隨機變量；對不同的 t， X(t)是不同的隨機變量 (見圖 102)，所以 {X(t)， t ∈ (∞, +∞) } 是一族隨機變量，即是隨機過程。 作一次試驗，若出現(xiàn) H，樣本函數(shù) x1(t) = cosπ t；若出現(xiàn) T，樣本函數(shù) x2(t)=t。故，隨機過程對應(yīng)的一族樣本函數(shù)僅包含兩個函數(shù) : {cosπ t, t} 。顯然，這個隨機過程的狀態(tài)空間為 (∞, +∞)。 圖 102 例 2 考慮 式中 α ,ω 是正常數(shù)， Θ是在 (0,2π )上服從均勻分布的隨機變量。 顯然，對任一固定的時刻 t1, X(t1) = α cos(ω t1+ Θ)是一個隨機變量。因而，由 ()式確定的 X(t)是一隨機過程，通常稱它為 隨機相位正弦波 。其狀態(tài)空間是[α, α]。在 (0, 2π)內(nèi)隨機地取一數(shù) θi , 相應(yīng)的樣本函數(shù)是 圖 103中畫出了這個隨機過程的兩條樣本曲線。 ( 1 . 1 ) )( ),(),c o s ( ???????? tttX ??).2,0(),co s ()( ????? i ??? ii ttx圖 103 例 3 在測量運動目標(biāo)的距離時，存在隨機誤差。若以 ε (t)表示在時刻 t 的測量誤差，則它是一個隨機變量。當(dāng)目標(biāo)隨時間 t 按一定規(guī)律運動時，測量誤差 ε (t) 也隨時間 t 而變化。換句話說 , ε (t)是依賴于 t 的一族隨機變量，亦即 {ε (t), t≥0}是一隨機過程，狀態(tài)空間是 (∞, +∞)。 例 4 設(shè)某市 120急救電話臺不斷地接到用戶的呼叫，若以 X(t)表示時間間隔 (0, t]內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則它是一個隨機變量，且對不同的 t≥0, X(t)可能是不同的隨機變量。故， {X(t), t ≥０ }是一隨機過程，狀態(tài)空間是 {0, 1, 2, ? }。 例 5 考慮擲一顆 骰子 試驗。 (1). 設(shè) Xn是第 n 次 (n≥1)擲的點數(shù)，對于 n=1, 2, ? 的 不同值 , Xn是不同的隨機變量，因而 {Xn, n≥1} 構(gòu)成一隨機過程 , 稱為伯努力過程 , 或伯努力隨 機序列。狀態(tài)空間都是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 (2). 設(shè) Xn是前 n次擲出的最大點數(shù)，則 {Xn, n ≥1}也 是一隨機過程。狀態(tài)空間是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 隨機過程可依其在任意時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機變量或離散型隨機變量而分成 連續(xù)型隨機過程 或 離散型隨機過程 。 熱噪聲電壓、例 2和例 3是連續(xù)型隨機過程，例 1,例 4和例 5是離散型隨機過程。 隨機過程還可依時間 (參數(shù) )是連續(xù)或離散進行分類。當(dāng)時間集 T是有限或無限區(qū)間時，稱 {X(t), t ∈ T}為 連續(xù)參數(shù)隨機過程 (以下如無特別指明，隨機過程總是指連續(xù)參數(shù)而言的 )；如果 T是離散集合，例如 T= {0, 1, 2, ? }，則稱 {X(t), t∈ T}為離散參數(shù)隨機過程或隨機序列，此時常記成 {Xn, n =0,1,2, ? }等，如例 5。 有時，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實際中也常將連續(xù)參數(shù)隨機過程轉(zhuǎn)化為隨機序列處理。例如 ,我們只在時間集 T={△ t, 2△ t, ? , n△ t, ? }上觀察電阻的熱噪聲電壓 Ｖ (t)， 這時就得到一個隨機序列 {V1, V2, ? ,Vn, ? }，其中 Vn=V(n△ t)。 顯然，當(dāng)△ t充分小時，這個隨機序列能夠近似地描述連續(xù)時間情況下的熱噪聲電壓。 需注意的是：參數(shù) t 雖然通常解釋為時間，但它也可以表示其它的量。諸如：序號、距離等。如例 5中，假定每隔一個單位時間擲 一次 骰子 ，則第 n次擲出的點數(shù) Xn就相當(dāng)于 t=n時 骰子 出現(xiàn)的點數(shù)。 167。 隨機過程的統(tǒng)計描述 隨機過程在任一時刻的狀態(tài)是隨機變量，由此可以利用隨機變量 (一維或多維 )的統(tǒng)計描述方法來描述隨機過程的統(tǒng)計特征。 隨機過程的分布函數(shù)族 給定隨機過程 { X(t), t ∈ T }，對每個固定的 t ∈ T, 隨機變量 X(t)的分布函數(shù)一般與 t 有關(guān)，記為 .},)({),( RxxtXPtxF X ??? 稱其為隨機過程 {X