圓錐曲線問題的常見方法(已修改)
2025-08-17 03:29 本頁面
【正文】 專題：解圓錐曲線問題常用方法（一）【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】 解圓錐曲線問題常用以下方法： 定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當(dāng)r1r2時(shí)，注意r2的最小值為ca：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。韋達(dá)定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。 解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例(1)拋物線C:y2 =4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為______________ (2)拋物線C: y2 =4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為 即 y=2(x1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過Q作QR⊥l交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，∴Q()點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。例F是橢圓的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（1）4 設(shè)另一焦點(diǎn)為，則(1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4。（2）3 作出右準(zhǔn)線l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，∴∴當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為例動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖，∴∴ （*）∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點(diǎn)評(píng)：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項(xiàng)，平方，…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例△ABC中，B(5,0),C(5,0),且sinCsinB=sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解：sinCsinB=sinA 2RsinC2RsinB=2RsinA∴即 （*）∴點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）∵2a=6，2c=10∴a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x3）點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長
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