探究圓錐曲線中離心率的問題(已修改)
2025-04-06 02:38 本頁面
【正文】 第 1 頁 共 9 頁探究圓錐曲線中離心率的問題離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面給同學們介紹常用的四種解法。一、直接求出 a、c，求解 e已知標準方程或 a、c 易求時，可利用離心率公式 來求解。ace?例 1. 過雙曲線 C： 的左頂點 A 作斜率為 1 的直線 ，若 與雙曲線 M 的兩條漸)0b(1yx2??? l近線分別相交于點 B、C ，且|AB|=|BC|，則雙曲線 M 的離心率是（ ）A. B. C. D. 105325分析：這里的 ，故關(guān)鍵是求出 ，即可利用定義求解。1b，c1a2??2b解：易知 A（1，0） ，則直線 的方程為 。直線與兩條漸近線 和 的交點分l1xy??bxy??別為 B 、C ，又|AB|=|BC|，可解得 ，則 故有 ，)b,(??),(?9210c10ace?從而選 A。二、變用公式，整體求出 e例 2. 已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為（ )0b,a(1yax2??x34y?）A. B. C. D. 3534452分析：本題已知 ，不能直接求出 a、c，可用整體代入套用公式。?ab解：由 （其中 k 為漸近線的斜率） 。這里 ，2222 1bce ??? 34ab?則 ，從而選 A。35)4(1a2???三、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率 e 是動點到焦點的距離與相應準線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例 3. 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為 ，焦點到相應準線的距離為 1，則該橢圓2的離心率為（ ）A. B. C. D. 22214解：由過焦點且垂直于長軸的弦又稱為通徑，設焦點為 F，則 軸，知|MF|是通徑的一半，xM?則有 。由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得離心率 ，從而選 B。2|MF? 2d|e?四. 構(gòu)造 a、c 的齊次式，解出 e 第 2 頁 共 9 頁根據(jù)題設條件，借助 a、b、c 之間的關(guān)系，構(gòu)造出 a、c 的齊次式，進而得到關(guān)于 e 的方程，通過解方程得出離心率 e 的值，這也是常用的一種方法。例 4. 已知 、 是雙曲線 的兩焦點，以線段 F1F2 為邊作正 ，若1F2 )0b,(1yx2??? 21FM?邊 的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）1MA. B. C. D. 34?323?3?解：如圖，設 的中點為 P，則點 P 的橫坐標為 ，由 ，由焦半11MF,c|O?2c?c|F|21P|?徑公式 ，即 ，得 ，有 ，解得aex|PFp1?a)2c(??0a2?0e?（舍去） ，故選 D。3,e??練一練設橢圓的兩個焦點分別為 FF 2，過 F2 作橢圓長軸的垂線 交橢圓于點 P，若 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ 21F? D ）A. B. C. ?2?D. ?解：由22101bcacee????化 為 齊 次 式高考試題分析1.（2022 全國卷Ⅰ）設雙曲線21xyab??（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于( C )（A） 3 （B）2 （C） 5 （D） 6 解：漸進線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設切點 0(,)Pxy，則切線的斜率為 039。|2xy?.由題意有 0yx?又 201?，解得: 2 201,()5bbeaa??.由題雙曲線 ??20xy－ ＝ ＞ ， ＞的一條漸近線方程為 abxy?，代入拋物線方程整理得2???ab
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