直線圓錐曲線與向量的綜合問題(已修改)
2025-04-06 06:30 本頁面
【正文】 .. . . ..直線圓錐曲線與向量的綜合問題高考考什么知識要點：1．直線與圓錐曲線的公共點的情況（1）沒有公共點 方程組無解 （2）一個公共點 （3）兩個公共點 2．連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：3．以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點。（3）給出,等于已知是的中點。（4）給出,等于已知A、B與PQ的中點三點共線。（5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（8）給出,等于已知是的平分線。（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形。（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形。（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線。高考怎么考主要題型：1．三點共線問題；2．公共點個數(shù)問題；3．弦長問題；4．中點問題；5．定比分點問題；6．對稱問題；7．平行與垂直問題；8．角的問題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為（1）考查學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。（2）考查學(xué)生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。特別提醒：D法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。高考真題1. [2012上海卷] 若n＝(－2,1)是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為________(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．．a(chǎn)rctan2 [解析] 考查直線的法向量和傾斜角，關(guān)鍵是求出直線的斜率．由已知可得直線的斜率k＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直線的傾斜角α＝arctan2.2.[2012重慶卷] 如圖1－3，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．圖1－3(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝|B1B2||OA|＝|OB2||OA|＝b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：x＝my－(m2＋5)y2－4my－16＝0.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1＋y2＝，y1y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，由PB2⊥QB2，得＝0，即16m2－64＝0，解得m＝177。2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和
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