52換元積分法習(xí)題課(已修改)
2025-08-17 00:08 本頁面
【正文】 換元積分法 ? 第一類換元積分法 ? 第二類換元積分法 ? 重點(diǎn)是思路與想法 問題 ? xdx2c o s ,2s in Cx ??解決方法 利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量 . 過程 令 xt 2? ,21 dtdx ??? xdx2c o s dtt?? c o s21 Ct ?? si n21 .2si n21 Cx ??一、第一類換元法 在一般情況下： 設(shè) ),()( ufuF ?? 則 .)()(? ?? CuFduuf如果 )( xu ?? （可微） dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???? ?? )(])([ xuduuf ?由此可得換元法定理 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)，? ?? dxxxf )()]([ ?? ? ? )(])([ xuduuf ?第一類換元公式 （ 湊微分法 ） 說明 使用此公式的關(guān)鍵在于將 ? dxxg )( 化為 .)()]([? ? ?? dxxxf觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同 . )( xu ?? 可導(dǎo)，則有換元公式定理 1 例 1 求 .2si n? xdx解 （一） ? xdx2s in ?? )2(2si n21 xxd。2c o s21 Cx ???解 （二） ? xdx2s in ?? x d xx c o ss in2?? )(s ins in2 xxd? ? 。si n 2 Cx ??解 （三） ? xdx2s in ?? x d xx c o ss in2??? )(c o sc o s2 xxd? ? .co s 2 Cx ???注意總結(jié)：常見的變量代換 解： 原式＝ 1 c o s 22x dx?? 11 c o s 222d x x d x????12 x??1 c os 22 xd x?212?12 x??1 sin 24 xC?例 2 解： 原式＝ 51 ( 2 3 ) ( 2 3 )2 x x dx?? ? ??51 ( 2 3 ) ( 2 3 )2 x d x? ? ??＝512u d u?＝( 2 3 )ux ?61126uC??＝ 61 ( 2 3 )12 xC??＝例 3 注：常見的變量代換特點(diǎn)如何？ 例 4 求 .23 1 dxx? ?解 ,)23(23 12123 1 ??????? xxxdxx? ? 23 1 dxxx )23(23 121 ????? ?duu?? 121 Cu ?? ln21 .)23l n (21 Cx ???? ? dxbaxf )( ? ??? baxuduufa ])([1一般地
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