二重積分習(xí)題課ppt課件(已修改)
2024-12-20 03:07 本頁(yè)面
【正文】 習(xí)題課 重積分 (二重 ) 習(xí)題二重積分計(jì)算 一 的解題程序 ??Ddyxf ?),(（ 1）畫(huà)出積分域 D的草圖。 （ 2）選擇坐標(biāo)系，主要根據(jù)積分或 D的形狀，有時(shí)也參看被積函數(shù)的形式，見(jiàn)表 111。 表 111 （ 3） 選擇積分次序 選序的原則：① 先積分的容易 ， 并能為后積分創(chuàng)造條件； ② 對(duì)積分域 D的劃分，塊數(shù)越少越好。 （ 4） 確定累次積分的上下限，作定積分運(yùn)算 。 定限口訣： 后積先定限 ,(累次積分中后積變量的上下限均為常數(shù) ) 限內(nèi)劃條線， (該直線 //坐標(biāo)軸且同向 .) 先交下限寫(xiě) ,(上下限或者為常數(shù)或者后積分變量的函數(shù) ) 后交上限見(jiàn) 。 直角坐標(biāo)系中積分限的確定，參看圖 112(a)、 (b). ???????)()(: 21 xyxbxaD??直線 l//y軸它先與 D的邊界曲線 y =? 1(x)相交 ,? 1(x)取做下限 ,后成 D的邊界曲線 y =? 2(x)相交 ,? 2(x)取作上限 ,故 ? ?? ?? ?? ? ???Dxxbayyxfxyxyxf 21d),(ddd,?? 與以上作類似分析，可得 ? ? ? ?? ?? ? ???Dxxdcxyxfyyxyxf 21d),(ddd, ??注：一般講，后積分的變量，積分上下限均為常數(shù)；先積分的變量 ，積分上下限或者為常數(shù)或者是后積分變量的函數(shù)。 圖 112(b) 圖 112(a) 直角坐標(biāo)系中積分限參看圖 112(a)、 (b). ? ?? x xyxfy10 10 d),( d)a( ? ? ?10 10 d),( d)b( x xyxfy? ?10 10 d),( d)c( xyxfy ? ? ?10 10 d),( d)d( y xyxfy [解 ] （ a） 顯然是錯(cuò)的 ， 因?yàn)楹蠓e分的上 、 下限不能含有變量； （ b） 也是錯(cuò)的 ， 因?yàn)橄确e分的上 、 下限或者為常數(shù)或者后積分變量的函數(shù) ， 而 （ b） 違背了； （ c） 也是錯(cuò)的 ， 原因是改變積分次序不會(huì)改變積分域 ， 由排除法可知 （ d） 該入選 。 【 例 1】 設(shè) ，則改變其 積分次序后為 。 ? ??? ?? xDyyxfxyxyxf 1010d),( ddd),(二 極坐標(biāo)系中積分限的確定 一般而言，極坐標(biāo)系中二重積分的積分次序是“先 ?后 ? ”。 即 ? ? ? ??Dyxf????d)s i n,c os( dd),( ????????積分限隨極點(diǎn) 0與積分域 D 的邊界曲線的相對(duì)位置而定。 1. 當(dāng)極點(diǎn) 0在域 D的 2. 邊界曲線之外時(shí) 圖 113(a) ? ?? ?? ??????????????? 2 1 d)s i n,c os( dI2. 當(dāng)極點(diǎn) 0在域 D的邊界線上時(shí) 圖 113(b) ? ?? ?????????????0d)s i n,c os(d fI3. 當(dāng)極點(diǎn) 0在積分域 D的邊界線之內(nèi)時(shí) 圖 113(c) ??? ? ??)(020d)s i n,c os(d ),(??????????? fdyxfID??? ? ??)()(2021d)s i n,c os(d ),(????????????? fdyxfID3. 當(dāng)極點(diǎn) 0在積分域 D的邊界線之內(nèi)時(shí) 圖 113(c) ??? ? ?? )(020 d)s i n,c os(d ),( ??? ???????? fdyxfID??? ? ?? )( )(20 21 d)s i n,c os(d ),( ?? ??? ???????? fdyxfID三 典型例題分析 （ 1）由所給累次積分的上下限寫(xiě)出表示積分域 D的不等式組； （ 2）依據(jù)不等式組畫(huà)出積分域 D的草圖； （ 3）寫(xiě)出新的累次積分，積分限的確定與前面所講的相同。 三 典型例題分析 1. 更換積分次序 解題程序 【 例 2】 更換下列積分次序： ? ??? ? ??? 220 202110 d),( d d),( d )1( xx x yyxfxyyxfxI? ??? ?? 2 88221 d),( d d),( d )2( xx x yyxfxyyxfxI)0(,d),( d )3( 2220 2 ?? ?? ? ayyxfxI ax xaxa?? ??? 24440 d),( d )4( yy y xyxfyI[解 ] （ 1）由積分的上下限知 ??????????????????xyxDxxyxD 20 21:2010: 221及由 D1, D2作出 D的圖形，見(jiàn)圖 114。 于是 故 ????????????10211: 2yyxyD??????yyxyxfyI21110 2d),(d 圖 114 ? ??? ? ??? 220 202110 d),( d d),( d )1( xx x yyxfxyyxfxI等等，一定要將其放在后面積分。 ,lnd,de,de,de,dc os 222????? ? x
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