[理學(xué)]多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課(已修改)
2025-03-05 12:49 本頁(yè)面
【正文】 多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課 一、多元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)（略） 二、多元函數(shù)積分學(xué)有關(guān)例題 例 1 比較下列積分的大?。? ?? ?Ddyx ?2)(與 ?? ?Ddyx ?3)(其中 D: 2)1()2( 22 ???? yx0 y x (3,0) (1,0) (0,1) 1?? yx. D 解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有 ,1?? yx 故在 D內(nèi) 32 )()( yxyx ??????? ????DDdyxdyx ?? 32 )()(例 2 估計(jì)積分大小 20,10 ,)1(??????? ??yxDdyxID是矩形閉區(qū)域：其中?解： 在 D內(nèi)的最大值為 4，最小值為 1 區(qū)域 D的面積為 2 所以由性質(zhì) 6得 812 ???? ??Ddyx ?)(yxyxf ??),(D例 3 解： 圍成．由其中計(jì)算 2,1,.22????? xxyxyDdyxD?X型 ???? ? xxDdyyxdxdyx 1 222122?? ????????21 12dxyxxx? ?? 21 3 )( dxxx .49?.21,1: ???? xxyxD），左邊交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 11所圍成的閉區(qū)域。及是由拋物線其中計(jì)算2, 2?????xyxyDx ydD?例 4 解 ： （ 如圖）將 D作 Y型 ???? ??? 22 1 2yyDx y d xdyx y d ?dyyyydyyxyy???????????????21522212])2([212 2855]62344[21 216234????? ?yyyy? ?2,41 2 2yx?2?? yx? ?1,1?xy)( yx后先例 5 解： .10,11:.2 ???????? yxDdxyD其中計(jì)算 ?1D 2D3D先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖 ???dxydyxdxyDDDD???????????? 321)()( 222???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx .1511? 分析 積分區(qū)域可表示為 X型區(qū)域 D: ?1?y?1, ?1?xy. D: ?1?x?1, x?y?1. 積分區(qū)域也可表示為 Y型區(qū)域 提問 : 哪個(gè)二次積分容易計(jì)算？ 及 y?x所圍成的閉區(qū)域 . 例 2 計(jì)算 ?dyxyD?? ?? 221 , 其中 D 是由直線 y ? 1 、 x ? ? 1 或 ? ??? ? ? ????? 1 1 1 2222 11 yDdxyxy dydyxy ? . 于 是 有 ???? ??????1 221122 11xDdyyxydxdyxy ? , 例 6 解 積分區(qū)域可表示為 X型區(qū)域 D: ?1?x?1, x?y?1. 及 y?x所圍成的閉區(qū)域 . 例 2 計(jì)算 ?dyxyD?? ?? 221 , 其中 D 是由直線 y ? 1 、 x ? ? 1 于 是 有 ???? ??????1 221122 11xDdyyxydxdyxy ? , ?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x 21)1(32 103 ???? ? dxx . ?? ?? ??????? 1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x 例 6 例 7 計(jì)算二重積分 ,dd)( 222 yxeyxxI yxD ??? ?? 其中 : (1) D為圓域 (2) D由直線 解 : (1) 利用對(duì)稱性 . yo x1DyxxI D dd2???0dd)(21 22 ??? ?? yxyxD??? 10 320 dd21 rr? ?4??yxeyxD yx dd22?? ??圍成 . yxeyxD yx dd122?? ??(2) 積分域如圖 : o1?yx11D2Dxy ??xy?,xy ?? 將 D 分為 , 21 DDyxeyxD yx dd222?? ??00dd 11 1 2 ??? ?? ?? x yxx添加輔助線 利用對(duì)稱性 , 得 1?11 xyo例 8 計(jì)算二重積分 ,dd)s g n ()1( 2 yxxyI D?? ??,dd)22()2( 22 yxxyyxI D?? ????在第一象限部分 . 解 : (1) 2xy ?21, DD 兩部分 , 則 ??? 1 ddD yxI???? 111 2 dd x yx 32?2D??? 2 ddD yx???? 2022 dd x yx1011: ????? yxD ，其中 D 為圓域 把與 D 分成 1D作輔助線 xy1o1 xy?(2) 提示 : 21 , DD 兩部分 1D??? ?? yxyxD dd)(22說明 : 若不用對(duì)稱性 , 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào) . xy?作輔助線 2D將 D 分成 ?? D yx dd2yxxyyxI D dd)22( 22?? ????2)12(32 ????? ?例 9 .)()(11)()( 12? ?? ???? ??banxanba dyyfybndyyfyxdx證明 證 ?????????bynbaxanadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22? ???? ba bynyxndyyf ])(11[)( 1.)()(11 1? ???? ban dyyfybnDxy?bbaa位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊 , 其面積是相同的 . 解 : 例 10 求球面 x2?y2?z2?a2含在圓柱面 x2?y2?ax內(nèi)部的那部分面積 . 由曲面方程 而 222 yxaz ???222 yxayyz?????? 222 yxa xxz ??????, 于是 d x d yyzxzAaxyx???? ???????2222 )()(12dx dyyxaaaxyx???? ???222222? ? ?? 20 c o s0 22 14? ????? a dada)2(2)s i n(4 220 ???? ? ????adaaa例 11 計(jì)算 ????? z d x d y d zI ，其中 ? 是球面 4222 ??? zyx 與拋物面 zyx 322 ?? 所圍的立體 . 解 ??????zrzr34222,3,1 ??? rz球面與拋物面交線為 ?? ? ?? ??? 23242030rr z dzrdrdI .413??面上，投影到把閉區(qū)域 x o y?.20,3043:22??????????rrzr，
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