[理學(xué)]多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課-wenkub
2023-03-08 12:49:27 本頁面
【正文】 )()(? ? ?? v dttftv0 ,)()(? ?? ? ? ??? x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([? ? ?? x xt dvtftvdt0 )()( .)()(21 0 2? ?? x dttftx0 v utD vtDx例 15 .)()(21]))(([020 0 0 ?? ? ? ??xx v u dttftxdvdudttf證明 證 .)()(21 0 2? ?? x dttftx?? u dttfuF 0 )()(令duuFdudttf vv u ?? ? ? 00 0 )())((? ??? vv duuFuuuF 00 )()]([ ??? v uufvvF 0 )()(?? v duuufvG 0 )()(令?? ? ?x v u dvdudttf0 0 0 ]))(([ ?? ?xx dvvGdvvvF 00 )()(?? ?????? xxxx dvvGvvvGdvvFvvFv 000202)(])([)(2)](2[?? ???? xx dvvfvxxGdvvfvxFx 0 2022)(])([)(2)](2[ozyt)(t?x)(tD設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零 , ????????? ?)(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF???????tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 ?其中 },),{()( 2222 tzyxzyxt ?????}.),{()( 222 tyxyxtD ???(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +∞) 內(nèi)的單調(diào)性 。多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課 一、多元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)（略） 二、多元函數(shù)積分學(xué)有關(guān)例題 例 1 比較下列積分的大?。? ?? ?Ddyx ?2)(與 ?? ?Ddyx ?3)(其中 D: 2)1()2( 22 ???? yx0 y x (3,0) (1,0) (0,1) 1?? yx. D 解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有 ,1?? yx 故在 D內(nèi) 32 )()( yxyx ??????? ????DDdyxdyx ?? 32 )()(例 2 估計(jì)積分大小 20,10 ,)1(??????? ??yxDdyxID是矩形閉區(qū)域：其中?解： 在 D內(nèi)的最大值為 4，最小值為 1 區(qū)域 D的面積為 2 所以由性質(zhì) 6得 812 ???? ??Ddyx ?)(yxyxf ??),(D例 3 解： 圍成．由其中計(jì)算 2,1,.22????? xxyxyDdyxD?X型 ???? ? xxDdyyxdxdyx 1 222122?? ????????21 12dxyxxx? ?? 21 3 )( dxxx .49?.21,1: ???? xxyxD），左邊交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 11所圍成的閉區(qū)域。 (2) 證明 t 0 時 , .)(2)( tGtF ?? (03考研 ) 例 16 解 : (1) 因?yàn)? ??????ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsi n)(dd)(??????????ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對 t 求導(dǎo) , 得 ? ? 202022d)(d)()()(2)(?? ???ttrrrfrrtrrftfttF,0)(),0( ????? tF上在 .),0()( 單調(diào)增加上在故 ??tF(2) 問題轉(zhuǎn)化為證 ????ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(?????ttrrfrrrf0202d)(d)(?即證 ? ? 0d)(d)(d)( 20 20 20 22 ?? ??? ttt rrrfrrfrrrf?)(tg0d))(()()( 0 222 ???? ? t rrtrftftg,),0()( 單調(diào)增在故 ??tg ,0)( 連續(xù)在又因 ?ttg故有 )0()0()( ?? tgtg 0?因此 t 0 時 , .0)(2)( ?? tGtF ?因 例 17 .)1,1()0,0(,:,2 一段到從其中求xyLdsyIL?? ?解 dxxxI )(1 210 2 ??? ?xy ?2.10: 2 ??? xxyLdxxx 210 41 ?? ?)155(121 ??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t txyz h tht???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度 為 為 時 間 的 雪 堆 在 融 化 過 程 中 ，其 側(cè) 面 滿 足 方 程 設(shè) 長 度 單 位 為厘 米 ， 時 間 單 位 為 小 時 ） ， 已 知 體 積 減 少 的 速 率 與 側(cè)面 積 成 正 比 （ 比 例 系 數(shù) 問 高 度 為 厘 米 的 雪 堆 全 部融 化 需 多 少 時 間 ？sdtdv ?解： sdtdv ???????? ? ??DthDth dxdydzdzdxdyv )(0)(0? ?? )(0 2 ])()([21th dzzthth? )(4 3 th??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t t xyz h t ht ???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度 為 為 時 間 的 雪 堆 在 融 化 過 程 中 ，其 側(cè) 面 滿 足 方 程 設(shè) 長 度 單 位 為厘 米 ， 時 間 單 位 為 小 時 ） ， 已 知 體 積 減 少 的 速 率 與 側(cè)面 積 成 正 比 （ 比 例 系 數(shù) 問 高 度 為 厘 米 的 雪 堆 全 部融 化 需 多 少 時 間 ？例 18 dxdyzzsD yx?? ??? 221dx dythyxthyx???????2)(222222 )()(161r d rrthdthth]16)([)(1 2)(02220 ?? ??? ?12)(13 2 th??sdtdv ?? 1013)( ??? dt tdhctth ???? 1013)( 1 0 0?? t例 19. 計(jì)算 其中 ? 為曲線 解 : 利用輪換對稱性 , 有 szsysx ddd 222 ??? ??? ??利用重心公式知 szyxI d)(32 222 ???? ??334 a??zo yx?(?的 重心在原點(diǎn) ) 例 20 ??????????? ??.0,22222zyxazyxdsxI為圓周其中求解 由對稱性 , 知 .222 ??? ??? ?? dszdsydsx?? ??? dszyxI )(31 222故??? dsa32.323a?? ),2( 球面大圓周長???? dsa例 21. 計(jì)算 其中 L 是沿逆 時針方向以原點(diǎn)為中心 , CoyxABL解法 1 令 , 22 xyQyxP ???? 則 這說明積分與路徑無關(guān) , 故 yxyxyxI AB d)(d)( 22 ???? ???? aa xx
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