[理學(xué)]多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課-文庫吧
2025-02-06 12:49 本頁面
【正文】 解 所圍成的立體如圖， 221 0 z x y d x d y d z?????例 計(jì) 算 由圓錐面其 是中 ? ,所圍成的區(qū)域。與 1222 ??? zzyx ,1: 22 ?? yxD222 zyx ???,rz ??,20,10,1: ?? ?????? rzr?例 12 ???? 110 220 r z d zdrrd? ?? ?? 1022 )21(2 drrr?.152????? ??d x d y d zyxz 22?????dzd r dzr ?2所以 ，求 )(1lim 40tFtt ???)(tF解 : 在球坐標(biāo)系下 ?? t rrrf0 2 d)(4 ?40)(limttFt ??利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義 ,得 320 4)(4l i mtttft ???? ttft)(l i m0?? )0(f?0)0( ?Fzyxzyxftzyxddd)(2222222????????其中 0? )0(f ??例 13 22221 1 1 ( 1 , 1 , 3 )z x y Mz x y? ? ? ???例 求 曲 面 上 點(diǎn) 處 的切 平 面 與 曲 面 所 圍 空 間 區(qū) 域 的 體 積 。zyxzyxF ???? 1),( 22解：xzyxF x 2),( ? yzyxF y 2),( ?1),( ??zyxF z0122: ????? zyx切平面?? ????? D d x d yyxyxv )122( 22則?????????220122yxzzyx1)1()1(: 22 ????? yxD xy???????????12)1(2)1(22 ])1()1(1[yxdxdyyx r drrd )1(10 220 ? ??? ? ?2??例 14 切平 例 15 .)()(21]))(([020 0 0 ?? ? ???xx v udttftxdvdudttf證明 證 思路：從改變積分次序入手． ? ?? ? ? v vtv u dutfdtdttfdu 00 0 )()(? ? ?? v dttftv0 ,)()(? ?? ? ? ??? x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([? ? ?? x xt dvtftvdt0 )()( .)()(21 0 2? ?? x dttftx0 v utD vtDx例 15 .)()(21]))(([020 0 0 ?? ? ? ??xx v u dttftxdvdudttf證明 證 .)()(21 0 2? ?? x dttftx?? u dttfuF 0 )()(令duuFdudttf vv u ?? ? ? 00 0 )())((? ??? vv duuFuuuF 00 )()]([ ??? v uufvvF 0 )()(?? v duuufvG 0 )()(令?? ? ?x v u dvdudttf0 0 0 ]))(([ ?? ?xx dvvGdvvvF 00 )()(?? ?????? xxxx dvvGvvvGdvvFvvFv 000202)(])([)(2)](2[?? ???? xx dvvfvxxGdvvfvxFx 0 2022)(])([)(2)](2[ozyt)(t?x)(tD設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零 , ????????? ?)(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF???????tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 ?其中 },),{()( 2222 tzyxzyxt ?????}.),{()( 222 tyxyxtD ???(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +∞) 內(nèi)的單調(diào)性 。 (2) 證明 t 0 時(shí) , .)(2)( tGtF ?? (03考研 ) 例 16 解 : (1) 因?yàn)? ??????ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsi n)(dd)(??????????ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對 t 求導(dǎo) , 得 ? ? 202022d)(d)()()(2)(?? ???ttrrrfrrtrrftfttF,0)(),0( ????? tF上在 .),0()( 單調(diào)增加上在故 ??tF(2) 問題轉(zhuǎn)化為證 ????ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(?????ttrrfrrrf0202d)(d)(?即證 ? ? 0d)(d)(d)( 20 20 20 22 ?? ??? ttt rrrfrrfrrrf?)(tg0d))(()()( 0 222 ???? ? t rrtrftftg,),0()( 單調(diào)增在故 ??tg ,0)( 連續(xù)在又因 ?ttg故有 )0()0()( ?? tgtg 0?因此 t 0 時(shí) , .0)(2)( ?? tGtF ?因 例 17 .)1,1()0,0(,:,2 一段到從其中求xyLdsyIL?? ?解 dxxxI )(1 210 2 ??? ?xy ?2.10: 2 ??? xxyLdxxx 210 41 ?? ?)155(121 ??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t txyz h tht???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度 為 為 時(shí) 間 的 雪 堆 在 融 化 過 程 中 ，其 側(cè) 面 滿 足 方 程 設(shè) 長 度 單 位 為厘 米 ， 時(shí) 間 單 位 為 小 時(shí) ） ， 已 知 體 積 減 少 的 速 率 與 側(cè)面 積 成 正 比 （ 比 例 系 數(shù) 問 高 度 為 厘 米 的 雪 堆 全 部融 化 需 多 少 時(shí) 間 ？sdtdv ?解： sdtdv ???????? ? ??DthDth dxdydzdzdxdyv )(0)(0? ?? )(0 2 ])()([21th dzzthth? )(4 3 th??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t t xyz h t ht ???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度 為 為 時(shí) 間 的 雪 堆 在 融 化 過 程 中 ，其 側(cè) 面 滿 足 方 程 設(shè) 長 度 單 位 為厘 米 ， 時(shí) 間 單 位 為 小 時(shí) ） ， 已 知 體 積 減 少 的 速 率 與 側(cè)面 積 成 正 比 （ 比 例 系 數(shù) 問 高 度 為 厘 米 的 雪 堆 全 部融 化 需 多 少 時(shí) 間 ？例 18 dxdyzzsD yx?? ??? 221dx dythyxthyx???????2)(222222 )()(161r d rrthdthth]16)([)(1 2)(02220 ?? ??? ?12)(13 2 th??sdtdv ?? 1013)( ??? dt tdhctth ???? 1013)( 1 0 0?? t例 19. 計(jì)算 其中 ? 為曲線 解 : 利用輪換對稱性 , 有 szsysx ddd 222 ??? ?
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