20xx年小學四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和(已修改)
2025-08-16 18:38 本頁面
【正文】 小學四年級奧數(shù)教程 高斯求和 高斯的故事 德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人。大約 10歲時，老師在算術課上出了一道難題：“把 1到 100的整數(shù)寫下來，然后把它們加起來！”每當有考試時他們班有如下的習慣：第一個做完的就把石板（當時通常用于寫字）面朝下地放在老師的桌子上，第二個做完的就把石板擺在第一張石板上，就這樣一個個落起來。這道難題當然難不倒學過算術級數(shù)的人，但對于剛學算術不久的孩子來說，難度較大。老師心想：終于可以休息一下了！但他錯了，因為還不到幾秒鐘，高斯已經(jīng)把石板放在講桌上了。同時說道：“答案在這兒”。而其他學生還在埋頭苦干，把數(shù)字一個個加起來，有的額頭都出汗了。但高斯卻靜靜地坐著，對老師投來的懷疑眼光毫不在意。考完后，老師一張張地檢查著石板，大部分都做錯了，當然也免不了吃一頓鞭打。最后，高斯的石板被翻了過來，只見上面只有一個數(shù)字： 5050。這正是正確的答案。老師吃了一驚！ 1＋ 100＝ 2＋ 99＝ 3＋ 98＝ ? ＝ 49＋ 52＝ 50＋ 51。 1～ 100正好可以分成這樣的 50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，高斯把這道題巧算為： （ 1+100） 100247。 2＝ 5050。 高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。 若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如： （ 1） 1， 2， 3， 4， 5， ? ， 100； （ 2） 1， 3， 5， 7， 9， ? ， 99； （ 3） 8， 15， 22， 29， 36， ? ， 71。 其中（ 1）是首項為 1，末項為 100，公差為 1的等差數(shù)列；（ 2）是首項為 1，末項為 99，公差為 2的等差數(shù)列；（ 3）是首項為 8，末項為 71，公差為 7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和 =（首項 +末項） 項數(shù) 247。 2。 根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可以變形得到如下的數(shù)量關系：項數(shù) =（末項 首項） 247。 公差 +1 末項 =首項 +公差 （項數(shù) 1） 首項 =末項 公差 （項數(shù) 1） 例 1 ： ⑴ 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5 ＋ ? ＋ 19＋ 20＝？ ⑵ 2＋ 4＋ 6＋ 8＋ ? ＋ 48＋ 50＝？ 分析：觀察上面兩道題，不難發(fā)現(xiàn)它們都是等差數(shù)列。第⑴題的首項是 1，末項是 20，共有 20個數(shù)。而第⑵題的首項是 2，末項是 50，共有 25個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得：
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