【正文】 Mathematics Laboratory 阮小娥博士 辦公地址：理科樓 231 Experiments in Mathematics 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 西安交通大學(xué)理學(xué)院 美國(guó)空軍為了保證士兵的營(yíng)養(yǎng)，規(guī)定每餐的食品中，要保證一定的營(yíng)養(yǎng)成份，例如蛋白質(zhì)、脂肪、維生素等等，都有定量的規(guī)定。當(dāng)然這些營(yíng)養(yǎng)成份可以由各種不同的食物來(lái)提供，例如牛奶提供蛋白質(zhì)和維生素，黃油提供蛋白質(zhì)和脂肪，胡蘿卜提供維生素，等等。由於戰(zhàn)爭(zhēng)條件的限制，食品種類有限，又要盡量降低成本，於是在一盒套餐中，如何決定各種食品的數(shù)量，使得既能滿足營(yíng)養(yǎng)成份的需要，又可以降低成本？ 現(xiàn)代管理問(wèn)題雖然千變?nèi)f化，但大致上總是要利用有限的資源，去追求最大的利潤(rùn)或最小的成本，如何解決這些問(wèn)題？ 解決問(wèn)題的方法：線性規(guī)劃 １ 在波斯灣戰(zhàn)爭(zhēng)期間 ， 美國(guó)軍方利用線性規(guī)劃 ，有效地解決了部隊(duì)給養(yǎng)和武器調(diào)運(yùn)問(wèn)題 ， 對(duì)促進(jìn)戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利 ， 起了關(guān)鍵的作用 。 甚至有這樣的說(shuō)法：因?yàn)槭褂谜ㄋ?， 第一次世界大戰(zhàn)可說(shuō)是 「 化學(xué)的戰(zhàn)爭(zhēng) 」 ；因?yàn)槭褂迷訌?， 第二次世界大戰(zhàn)可說(shuō)是 「 物理的戰(zhàn)爭(zhēng) 」 ；因?yàn)槭褂镁€性規(guī)劃 ， 波斯灣戰(zhàn)爭(zhēng)可稱為 「 數(shù)學(xué)的戰(zhàn)爭(zhēng) 」 。 在歷史上 ， 沒(méi)有哪種數(shù)學(xué)方法 ， 可以像線性規(guī)劃那樣 ， 直接為人類創(chuàng)造如此巨額的財(cái)富 ， 并對(duì)歷史的進(jìn)程發(fā)生如此直接的影響 。 2 實(shí)驗(yàn)八 線性函數(shù)極值求解 3 例 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題： 問(wèn)： A, B各生產(chǎn)多少 , 可獲最大利潤(rùn) ? A B 備用資源 煤 1 2 30 勞動(dòng)日 3 2 60 倉(cāng)庫(kù) 0 2 24 利潤(rùn) 40 50 一、引例 某企業(yè)生產(chǎn) A， B兩 種產(chǎn)品，成本和利潤(rùn)指標(biāo)如下： x1 + 2x2 ? 30， 3x1 + 2x2 ? 60， 2x2 ? 24， x1， x2 ? 0； max Z= 40x1 +50x2 解 :設(shè)產(chǎn)品 A, B的產(chǎn)量分別為變量 x1 ， x2， 則： . A B 備用資源 煤 1 2 30 勞動(dòng)日 3 2 60 倉(cāng)庫(kù) 0 2 24 利潤(rùn) 40 50 4 5 例 2： (資源配置問(wèn)題 ) 現(xiàn)有四種原料，其單位成本和所含維生素 A， B， C成分如下： 求：最低成本的原料混合方案。 A B Ｃ 每單位成本 原料 1 4 1 0 2 原料 2 6 1 2 5 原料 3 1 7 1 6 原料 4 2 5 3 8 每單位添加劑中 維生素最低含量 12 14 8 6 解： minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 ?12， x1 + x2 +7x3+5x4 ?14， 2x2 + x3+3x4 ? 8， xi ? 0 (i =1,…,4) ； 設(shè)每單位添加劑中原料 i的用量為 xi(i =1,2,3,4)， 則： . A B Ｃ 每單位成本 原料 1 4 1 0 2 原料 2 6 1 2 5 原料 3 1 7 1 6 原料 4 2 5 3 8 每單位添加劑中 維生素最低含量 12 14 8 有一批長(zhǎng)度為 。 現(xiàn)有 5中下料方案，分別作成 ， ， 100根。每種下料方案及剩余料頭如下表所示： 例 (資源配置問(wèn)題 ) 問(wèn)：如何下料使得剩余料頭最少？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 合計(jì) 料頭 0 7 解： 設(shè)按第 i種方案下料的原材料為 xi根，則： minZ= + ++ x1 + 2x2 + x4 =100， 2x3 +2x4+ x5=100， 3x1+ x2+2x3 +3x5=100， xi ? 0 (i =1,…,5) ， 且為整數(shù)； . Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 合計(jì) 料頭 0 8 例 (運(yùn)輸問(wèn)題 ) 1 2 3 庫(kù)存容量 1 2 1 3 50 2 2 2 4 30 3 3 4 2 10 需求 40 15 35 倉(cāng)庫(kù) 車(chē)間 某棉紡廠的原棉需從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)送到各車(chē)間。各車(chē)間原棉需求量，單位產(chǎn)品從各倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往各車(chē)間的 運(yùn)輸費(fèi)以及各倉(cāng)庫(kù)的 庫(kù)存容量 如下表所列： 問(wèn)：如何安排運(yùn)輸任務(wù)使得總運(yùn)費(fèi)最小？ 9 設(shè) xij為 i 倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到 j車(chē)間的原棉數(shù)量 (i ＝ 1,2,3。 j ＝ 1,2,3)。 則 minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 解： x11 +x12+x13 ? 50， x21+x22+x23 ? 30， x31+x32+x33 ? 10， x11 +x21+x31 = 40， x12 +x22+x32 =15， x13 +x23+x33 =35， xij ? 0， i ＝ 1,2,3。 j ＝ 1,2,3。 . 1 2 3 庫(kù)存容量 1 2 1 3 50 2 2