重積分應(yīng)用舉例(已修改)
2025-08-03 01:47 本頁(yè)面
【正文】 第四節(jié) 重積分應(yīng)用舉例 一、問(wèn)題的提出 把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中 . ?d?d?dyxf ),(?dyxf ),(),( yx 若要計(jì)算的某個(gè)量 U對(duì)于閉區(qū)域 D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域 D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量 U相應(yīng)地分成許多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在閉區(qū)域 D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域 時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中 在 內(nèi)．這個(gè) 稱為所求量 U的 元素 ，記為 ，所求量的積分表達(dá)式為 ???DdyxfU ?),(dU二、體積 １．曲頂柱體的體積為 ： ???DyxyxfV dd),(2．空間區(qū)域的體積為 ： .d?????VV例 1. 求球面 與圓柱面 所圍成的立體的體積 . 2222 azyx ???)0( 22 ??? aaxyx( 指含在柱體內(nèi)部分) a )943(2 3 ?? ?解 由對(duì)稱性，考慮第一卦限部分 柱坐標(biāo)。 V ? ?? 20 33 d)s i n1(34 π θθ aθrrraDdd 4 22?? ?。 。 。 dd4 20 c o s 0 22? ? ??π θarrraθ 2222 azyx ???z x y o . a 2222 azyx ??? 22 axyx ??. x y o z z = 0 a x y z o 。 22 raz ??。 ?cosar ?。 。 維望尼曲線 。 。 D ?1 . 例 2. 求半徑為 R的球面 : 與半頂角為 ? 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 . 2222 )( RRzyx ????R r=2R cos? . . ?M r z 0 x y ? ? ? ? =? ??? M?c o s20: RrV ???? ??0?? 20 ??)c o s1(3 4 43 ?? ?? RV三、曲面的面積 １．設(shè)曲面的方程為： ),( yxzz ?,Dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)樵?Dd ??設(shè)小區(qū)域,),( ?dyx ?點(diǎn).)),(,(的切平面上過(guò)為 yxzyxMS?.dsdAdAdsszd???則有，為；截切平面為柱面，截曲面軸的小于邊界為準(zhǔn)線，母線平行以如圖， ?d ),( yxM dAxyzs?o ?,面上的投影在為 xoydAd ?? ,c o s ?? ??? dAd,11c o s22yx zz ??????d1d 22 yx zzA ????,d1 22?? ????Dyx zzA ?曲面 S的面積元素 曲面面積公式為： yxzzAxyDyx dd122?? ???３．設(shè)曲面的方程為： ),( xzyy ?曲面面積公式為： .dd1 22 xzyyAzxDzx?? ???２．設(shè)曲面的方程為： ),( zyxx ?曲面面積公式為： 。dd
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