數(shù)列求和方法總結(jié)(已修改)
2024-11-24 00:11 本頁面
【正文】 1 數(shù)列求和 方法總結(jié) 一．等差、等比數(shù)列求和問題 總結(jié) ： dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 ????? ：????? ???????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnaS nnn 例 1 已知3log1log 23 ??x，求 ??????????? nxxxx 32 的前 n 項(xiàng)和 . 解 ：由212l ogl og3l og 1l og 3323 ??????? xxx 由等比數(shù)列求和公式得： nn xxxxS ???????? 32 = xxx n??1 )1( ＝211)211(21?? n ＝ 1－n21 例 Sn＝ 1+2+3+…+n ， n∈ N*,求1)32()( ??? nn Sn Snf 的最大值 . 解：由等差數(shù)列求和公式得 )1(21 ?? nnSn， )2)(1(21 ??? nnSn ∴ 1)32()( ??? nn Sn Snf ＝ 64342 ?? nn n ＝nn64341??＝50)8(12 ?? nn 501? ∴ 當(dāng) 88?n，即 n＝ 8 時(shí)， 501)(max ?nf. 2. “整體值”的運(yùn)用 例 3. ??na 是等差數(shù)列，前 10 項(xiàng)的和為 100，前 100 項(xiàng)的和為 10，求前 110 項(xiàng)的和 110S ． 解析： 運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)： 若 m n p q? ? ? ，則 m n p qa a a a? ? ? ． ∵ 1 1 1 0 01 0 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 9 0 ( ) 902aaS S a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 11 100 2aa? ?? ． 因此， 1 1 1 0 0110 1 1 0 ( ) 1102aaS ?? ? ?． 點(diǎn)評：在運(yùn)用公式求和時(shí)，已知 1 na d a， ， 可以求 nS ，但往往在不易求得這些值時(shí)，利用“整體值”求和十分有效，這種“整體值”的運(yùn)用在后面的等比數(shù)列求和時(shí)也常用． 2 在等差數(shù)列中，若 ()m n p q m n p q ?? ? ? ? N， ， ，則m n p qa a a a? ? ?，特別地， 1 2 1nna a a a ?? ? ? ?． 例 4. 在等差數(shù)列 ??na 中，共有 (2 1)n? 項(xiàng)， 132 120SS??奇 偶， ，求 n． 解法一： 由性質(zhì)得 1S nSn??奇偶，所以 132 1120 nn??．解得 10n? ． 解法二： 因?yàn)?2 1 1(2 1)nnS n a???? ，又 1 12na S S? ? ? ?奇 偶 ，所以 12( 2 1) 132 120n ? ? ?．解得 10n? ． 點(diǎn)評：等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)中，中間項(xiàng)對推導(dǎo)和記憶性質(zhì)十分重要． 應(yīng)用知識點(diǎn)： （ 1）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列 ??na 中， na 與 1na? 為中間兩項(xiàng)， 1()n n nS n a a ???，S S nd??偶 奇 ，1nnS aSa??奇偶． （ 2）項(xiàng)數(shù)為 21n? 的等差數(shù)列 ??na 中， na 為中間項(xiàng)， nS S a??奇 偶 ，1S nSn? ?奇偶． n 項(xiàng)和 例 5 ??na 是等差數(shù)列，前 10 項(xiàng)的和為 100，前 100 項(xiàng)的和為 10，求前 110 項(xiàng)的和 110S ． 解析： ??na 是等差數(shù)列，易知 10 20 10 30 20S S S S S??， ， ，也成等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng) 1 100A? ． 又因?yàn)?1 2 10 10A A A? ? ? ?，求得這個(gè)數(shù)列的公差 22D?? ． 所以 11 100 10 ( 22) 120A ? ? ? ? ? ?， 所以 1
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