數(shù)列求和方法總結(jié)-免費(fèi)閱讀
【正文】 2020 2020 2020:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)； （ Ⅱ ）設(shè)n nnb a?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS :/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 13n na??:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 即 1 3 (1 3 )23 13nnnSn ? ??? ?， 6 1( 2 1)3 344nn nS??? ? ?新疆奎屯:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 ④ ④ ③得 1 2 32 3 ( 3 3 3 3 )nnnSn ?? ? ? ? ? ?…:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 在①中，令 1n? ，得1 13a?．還可以留下最后一項(xiàng)，其余相鄰兩項(xiàng) 合并 ． 證明 ： 1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2n n n nS S a a a a a a a nd a nd a nd a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?奇 偶 ． 其實(shí) 1na? 是數(shù)列 ??na 的前 21n? 項(xiàng)的中項(xiàng)，所以上面（ *）式，又可寫成 S S a??奇 偶 中，這是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，有著廣泛的應(yīng)用．因此，同學(xué)們不僅要會(huì)用這種方法配對(duì)求和，還要熟練掌握這個(gè)常用結(jié)論． 點(diǎn)評(píng) ：對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項(xiàng)求和的方法，在使用合項(xiàng)求和時(shí)，要弄 5 清求的是前多少項(xiàng)的和，如果是偶數(shù)項(xiàng)，兩兩合并， 正好配對(duì)，若是奇數(shù)項(xiàng)，一般留首項(xiàng)，然后再合并 . 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： 合項(xiàng)法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 . 2. 拆項(xiàng)法 例 3 求 1 1 1 11 3 5 72 4 8 16， ， ， ，的前 n 項(xiàng)和． 解： 1 1 1 1 11 3 5 7 ( 2 1 )2 4 8 1 6 2n nSn? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1( 1 3 2 1 ) 2 4 8 2 nn ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 2111(1 2 1 ) 122 112212nnnn n??????? ??? ? ? ? ??． 點(diǎn)評(píng)： 拆項(xiàng)的目的是把非等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題通過(guò)拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差、 數(shù)列的求和問(wèn)題 .本題中若將數(shù)列改為“ 112? ， 134? ， 158? ， 17 16? ，?”，則需要用錯(cuò)位相減法求其前 n 項(xiàng)和． 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：拆項(xiàng)法求和 . 例 4.（ 2020 山東卷 17）設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 211 2 33 3 3 3n n na a a a?? ? ? ? ?…， n?*N 2020 2020 2020 2020 2020．求 16S 的值． 解 析 ： 采 用 相 鄰 兩 項(xiàng) 直 接 合并 ．這里 16n? 為偶數(shù)，16 ( 1 5 ) ( 9 13 ) [ ( 4 15 3 ) ( 4 16 3 ) ]S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共合并成8對(duì) 4 8 32? ? ??． 點(diǎn)評(píng) ：對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項(xiàng)求和的方法，在使用合項(xiàng)求和時(shí)，要弄清求的是前多少項(xiàng)的和，如果是偶數(shù)項(xiàng)，兩兩合并，正好配對(duì)，若是奇數(shù)項(xiàng)，一般留首項(xiàng)，然后再合并 . 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： 合項(xiàng)法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 . 例 2 若等差數(shù)列 ??na 共有 21n? 項(xiàng)，求證： 1nS S a ???奇 偶 ． （ *） （ SS奇 偶， 分別為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和） 分析 ： 1 3 2 1 2 1nnS a a a a??? ? ? ? ?奇 ， 2 4 2 nS a a a? ? ? ?偶 ， ∴ SS?奇 偶 1a留 下 其 余 相 鄰兩 項(xiàng) 合 并 1 3 2 5 4 2 1 2( ) ( ) ( )nna a a a a a a?? ? ? ? ? ? ?n共 合 并 成 對(duì) 11na n d a ???:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 解：（ Ⅰ ） 211 2
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