數(shù)列求和方法總結(jié)(更新版)
【正文】 ? ? ? ?， 11 12 0aa??， 12 21 0ad??，1221da??． ∵ 1 0a? ， 0d? ．∴等差數(shù)列 ??na 為遞增數(shù)列，由條件，不可能有 11 0a? ，故 12 11 0aa?? ? ， 11 0a? ． ∴數(shù)列的前 11 項和最?。? 點評 ：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)，從通項來分析項的符號，是解決等差數(shù)列和的最值問題的簡便方法，這比用前 n 項和公式分析快捷． 應(yīng)用知識點： 在等差數(shù)列 ??na 中，（ 1）若 1 00ad??， ，數(shù)列 ??na 為遞減數(shù)列，必存在ｍ，使 0ma≥ ，1 0mmaS? ? ， 最大， 又若 0ma? ，這時 1mmSS?? 同時最大；若 1 0a? ， 0d? ，數(shù)列 ??na 為遞增數(shù)列，必存在 m ，使 0ma≤ ， 1 0ma? ? ， mS 最小，又若 0ma? ，這時 1mmSS?? 同時最?。? （ 2）從前 n 項和公式 2 ( 0)nS An Bn A? ? ?上分析，若2Bm A??為正整數(shù)，則 mS 為最大值，若2Bm A??是正分?jǐn)?shù)， m 取離2BA?最近的整數(shù)，則 mS 最大． 7. 求數(shù)列 ? ?na的前 n 項和 nS′ 例 8. 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 23 2 0 522nS n n? ? ?，求數(shù)列 ? ?na的前 n 項和 nT ． 解： 11101aS?? ，當(dāng) 2n≥ 時， 1 3 10 4n n na S S n?? ? ? ? ?，當(dāng) 1n? 時，也適合上式， ∴ n ??N 時， 3 104nan?? ? ，令 0na? ，則 ? ， ∴ 34n≤ 時， 0na? ；當(dāng) 35n? 時， 0na? ． （ 1）當(dāng) 34n≤ 時， 21 2 1 2 3 2 0 522n n n nT a a a a a a S n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （ 2）當(dāng) 35n≥ 時， 1 2 34 35nnT a a a a a? ? ? ? ? ? 1 2 34 35 36 1 2 34 1 2( ) ( ) 2( ) ( )nna a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 234 3 2 0 52 3 5 0 222nS S n n? ? ? ? ?． 故 223 2 0 5 34223 2 0 5 3 5 0 2 3 522nn n nTn n n? ????? ?? ????， ， ．≤≥ 4 點評： 對于帶絕對值號的數(shù)列求和問題，應(yīng)先弄清 n 取什么值時， 0na? 或 0na? ，然后再求解．本題應(yīng)注意的是當(dāng) 35n≥ 時， nnaa?? 也是一個等差數(shù)列． 應(yīng)用知識點： 在等差數(shù)列 ??na 中，若 1 00ad??， ，則從某項 ma 起， 0( )na n m? ≥ ，故數(shù)列 ? ?na的前 n 項和12nnnmS n mS S S n m?????? ? ? ???， ， ； ≥； 當(dāng) 1 00ad??， ，類似有12.nnnmS n mS S S n m????? ? ?????， ， ≥ ： 1 等比數(shù)列求和公式有兩個，但這兩個公式是各管一塊，互不牽扯，所以在等比數(shù)列求和中就出現(xiàn)一個公式選擇的問題，這取決于公比 1q? 還是 1q? . 二．非等差、等比數(shù)列求和 （一）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和 . 1. “合項”法 是處理數(shù)列求和問題的一種重要方 法，它利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡． 例 1 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 11 5 9 13 ( 1 ) ( 4 3 )nnSn ?? ? ? ? ? ? ? ? 2020 2020183
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