【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答1第一章思 考 題1．事件的和或者差的運算的等式兩端能“移項”嗎？為什么？2．醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活. ”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說“，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病，所以你不會死” ，醫(yī)生的說法對嗎？為什么？３．圓周率 是一個無限不循環(huán)小數(shù), 我國數(shù)學家祖沖之第一次把????它計算到小數(shù)點后七位, 這個記錄保持了 1000 多年! 以后有人不斷把它算得更精確. 1873 年, 英國學者沈克士公布了一個 的數(shù)值, 它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有 707 位之多! ?但幾十年后, 曼徹斯特的費林生對它產(chǎn)生了懷疑. 他統(tǒng)計了 的 608 位小數(shù), 得到了下表:?67584625687260 9431出 現(xiàn) 次 數(shù)數(shù) 字你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?答：因為 是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應近似相等，?或它們出現(xiàn)的頻率應都接近于 ，但 7 .4．你能用概率證明“三個臭皮匠勝過一個諸葛亮”嗎？５．兩事件 A、B 相互獨立與 A、B 互不相容這兩個概念有何關(guān)系？對立事件與互不相容事件又有何區(qū)別和聯(lián)系？６．條件概率是否是概率？為什么？習 題1． 寫 出 下 列 試 驗 下 的 樣 本 空 間 ：（ 1） 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 兩 次答 ： 樣 本 空 間 由 如 下 4 個 樣 本 點 組 成 {(,),(,),}??正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反（ 2） 將 兩 枚 骰 子 拋 擲 一 次答 ： 樣 本 空 間 由 如 下 36 個 樣 本 點 組 成 　 　 　(,)1,2345,6ij（ 3） 調(diào) 查 城 市 居 民 （ 以 戶 為 單 位 ） 煙 、 酒 的 年 支 出答 ： 結(jié) 果 可 以 用 （ x， y） 表 示 ， x， y 分 別 是 煙 、 酒 年 支 出 的 元 數(shù) .這 時 ，樣 本 空 間 由 坐 標 平 面 第 一 象 限 內(nèi) 一 切 點 構(gòu) 成 . {(,)0,}xy???2．甲，乙，丙三人各射一次靶，記 “甲中靶” “乙中靶 ” “丙中靶” 則可?A?B?C用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： 。 (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： 。C (4) “三人中恰好有一人中靶”： 。BA?概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答2 (5)“ 三人中至少有一人中靶”： 。CBA?(6)“三人中至少有一人未中靶”： 或 。(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： 。(9)“三人均未中靶”： 。(10)“三人中至多一人中靶”： 。CBACBA?(11)“三人中至多兩人中靶”： 或 。3 .設 是 兩 隨 機 事 件 ， 化 簡 事 件,AB(1) (2) )()?()?解 :(1) ,AB??(2) .)(A()AB??4．某城市的電話號碼由 5 個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從 09 這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.解： .510324P?5． 張 獎 券 中 含 有 張 有 獎 的 ， 個 人 購 買 ， 每 人 一 張 ， 求 其 中 至 少 有 一nmk人 中 獎 的 概 率 。解法一：試驗可模擬為 個紅球， 個白球，編上號，從中任取 k 個構(gòu)成一組，n?則總數(shù)為 ，而全為白球的取法有 種，故所求概率為 。knCkmnC? knmC?1 解法二：令 —第 i 人中獎， B—無一人中獎，則 ，注意到iA,.2,1i?? kAB?21?不獨立也不互斥：由乘法公式k，?21 )()()()( 1213121 ?? kkAPAPB??.nmnmn?????? !,1k knmnmCC?同 除 故 所 求 概 率 為6．從 5 雙不同的鞋子中任取 4 只，這 4 只鞋子中“至少有兩只配成一雙” （事件A）的概率是多少？ 解：125840()CP??7． 在 上 任 取 一 點 ， 求 該 點 到 原 點 的 距 離 不 超 過 的 概 率 . ??,X15概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答3解 ： 此為幾何概率問題： ,所求事件]1[，???占有區(qū)間 ，從而所求概率為 .]51[，?25P?8． 在 長 度 為 的 線 段 內(nèi) 任 取 兩 點 ， 將 其 分 成 三 段 ， 求 它 們 可 以 構(gòu) 成 一 個 三a角 形 的 概 率 。解 ： 設 一 段 長 為 ，另一段長為 ，樣本空間 ，xy:0,0xayxya????所求事件滿足： 02()ayxx????????從而所求概率＝ .14CDEOABS?:9． 從 區(qū) 間 內(nèi) 任 取 兩 個 數(shù) ， 求 這 兩 個 數(shù)(0,)的 乘 積 小 于 的 概 率 。14解 ： 設 所 取 兩 數(shù) 為 樣 本 空 間 占 有 區(qū) 域,XY,兩 數(shù) 之 積 小 于 : ,故 所 求 概 率?14?,()()SDSP????而 ,故 所 求 概 率 為141())(ln4)SDdx???。(ln)?10． 設 、 為 兩 個 事 件 ， ， ， 求 。AB()?()?()PAB解： 。 ()(.???11． 設 、 為 兩 個 事 件 ， ， ， 求 . ()()()? 解： .1[())]1[]6PABPABPAB????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答412． 假 設 ， ， 若 、 互 不 相 容 ， 求 ； 若 、()?()??AB()PBA相 互 獨 立 ， 求 。 B 解：若 、 互 不 相 容 ， ；())(??若 、 相 互 獨 立 ， 則 由 可 得 =. A )(ABAB??()P13．飛機投彈炸敵方三個彈藥倉庫，已知投一彈命中 1，2，3 號倉庫的概率分別為,求飛機投一彈沒有命中倉庫的概率.解：設 {命中倉庫}，則 {沒有命中倉庫}，又設 {命中第 i 倉庫}???i則 ，)3,21(i 03.)(,02.)(,01.( APAP根據(jù)題意 （其中 兩兩互不相容）321?31故 =++=()()??所以 .??AP即飛機投一彈沒有命中倉庫的概率為 14． 某 市 有 50%住 戶 訂 日 報 ， 有 65%的 住 戶 訂 晚 報 ， 有 85%的 住 戶 至 少訂 這 兩 種 報 紙 中 的 一 種 ， 求 同 時 訂 這 兩 種 報 紙 的 住 戶 的 百 分 比 解： 設 {用戶訂有日報 }， ={用戶訂有晚報}，則 {用戶至少訂有日?AB?BA?報和晚報一種}， {用戶既訂日報又訂晚報 }，已知B，)(,)(,.)( ?PP?.??????BAA即同時訂這兩種報紙的住戶的百分比為 30%15．一批零件共 100 個，次品率為 10%，接連兩次從這批零件中任取一個零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。解：設 {第一次取得次品}， {第二次取得正品}，則?A?B{第二次才取得正品 }，又因為 ，則B 90)(,10)(?ABP概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答5)()( ??ABPA 隨 機 變 量 、 、 兩 兩 獨 立 ， 與 互 不 相 容 . 已 知CB0)(2??CPB且 ， 求 .5(8?()?解 ： 依 題 意 且 ， 因 此 有 . 又 因?AB)((BPA0)(?AP， 解 方 程25()())3[]8PCPC???0853][2?，11()[()]()42B??舍 去， ()()()?????17． 設 是 小 概 率 事 件 ， 即 是 給 定 的 無 論 怎 么 小 的 正 數(shù) .試 證 明 ：A?當 試 驗 不 斷 地 獨 立 重 復 進 行 下 去 ， 事 件 遲 早 總 會 發(fā) 生 （ 以 概 率 1 發(fā) 生 ） .解 ： 設 事 件 —第 次 試 驗 中 出 現(xiàn) ，∵i A(1,2,)in??， ，∴ 次 試 驗 中 ， 至 少 出 現(xiàn) 一 次 的 概 率(),()1iiPA????(1,2)in?? A為 12 12()()n nAPA?? ?? 12()nP??? （獨立性）)((????? 1n?∴ ，()nnPAA?????18． 三 個 人 獨 立 地 破 譯 一 密 碼 ， 他 們 能 單 獨 譯 出 的 概 率 分 別 是 ， ，153， 求 此 密 碼 被 譯 出 的 概 率 。4解:設 A，B，C 分別表示{第一、二、三人譯出密碼}，D 表示{密碼被譯出}，則??())1 PPABC????? .1(()(???概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答619． 求 下 列 系 統(tǒng) （ 如 圖 所 示 ） 的 可 靠 度 ， 假 設 元 件 的 可 靠 度 為 ， 各iip元 件 正 常 工 作 或 失 效 相 互 獨 立 解 ： (1)系 統(tǒng) 由 三 個 子 系 統(tǒng) 并 聯(lián) 而 成 ， 每 個 子 系 統(tǒng) 可 靠 度 為 ， 從 而123p所 求 概 率 為 ；312)p?（2）同 理 得 .[(]20． 三 臺 機 器 相 互 獨 立 運 轉(zhuǎn) ， 設 第 一 ， 第 二 ， 第 三 臺 機 器 不 發(fā) 生 故 障 的 概率 依 次 為 ， ， ， 則 這 三 臺 機 器 中 至 少 有 一 臺 發(fā) 生 故 障 的 概 率 . 解：設 —第 一 第 三 臺 機 器 發(fā) 生 故 障 ， —第 一 第 三 臺 機 器 發(fā) 生 故 障 ，1A2A—第 一 第 三 臺 機3器 發(fā) 生 故 障 ， —三 臺 機 器 中 至 少 有 一 臺 發(fā) 生 故 障 ， 則D， 故123()0.,().,()????1 BCB???()()() C????21． 設 、 為 兩 事 件 ， , , ， 求 . ?.6)PA()PAB?解：由 得()?.,().12,()()() BBA????，. 082PA???概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題解答7 20 年以上的概率為 , 活到 25 年以上的概率為 . 問現(xiàn)年 20 歲的這種動物, 它能活到 25 歲以上的概率是多少?解：設 —某種動物由出生算起活到 20 年以上， ， —某種動物由出A ()?B生算起活到 25 年以上， ，則所求的概率為()? ()()()() .58PABA??23． 某 地 區(qū) 歷 史 上 從 某 年 后 30 年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 為 80%， 40 年內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 為 85%， 求 已 過 去 了 30 年 的 地 區(qū) 在 未 來 10 年 內(nèi)發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 。解 ： 設 —某 地 區(qū) 后 30 年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 災 ， ， —某 地 區(qū) 后 40A ().8PA?B年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 災 ， ，則所求的概率為().85PB?.()()()1()112BAPA?????24．設甲、乙兩袋，甲袋中有 2 只白球，4 只紅球；乙袋中有 3 只白球，2 只紅球.今從甲袋中任意取一球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一球。1）問取到白球的概率是多少？2）假設取到白球，問該球來自甲袋的概率是多少？解：設 A：取到白球，B：從甲球袋取白球 243) (/)(/)(5/9 6PPAB?????/2 //()?2 一 批 產(chǎn) 品 共 有 10 個 正 品 和 2 個 次 品 ， 任 取 兩 次 ， 每 次 取 一 個 ， 抽 出 后不 再 放 回 ， 求 第 二 次 抽 出 的 是 次 品 的 概 率 . 解 ： 設 表示第 次抽出次品 , ,由全概率公式iBi(1)i?= .2221111()()(BPP??0216???，其中一等品占 95%，二等品占 4%，三等