20xx年數(shù)學(xué)建模競賽a題論文(已修改)
2024-11-22 10:06 本頁面
【正文】 1 儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定 【 摘要 】 2 一、 問題重述 背 景 通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用 油 量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn) /出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容 表進(jìn)行重新標(biāo)定。 問題提出 問題一 ：為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為 ?=? 的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件 1所示）。 建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為 1cm的罐容表標(biāo)定值。 問題二 ：對于實(shí)際儲油罐，試建立罐 體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（ 縱向傾斜角度 ?和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ?） 之間的一般關(guān)系。請利用罐體變 位后在進(jìn) /出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件 2） ，根據(jù) 所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為 10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件 2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。 二、 問題分析 問題一： 要確定罐體變位對罐容表的影響，需要研究罐體變位前后罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系。 首先分析罐體無變位時的情況。臥式儲油罐的長度一定為 米，且為兩端平頭的橢圓柱體，當(dāng)油位高度一定時，罐內(nèi)油體各截面面積相同，利用一重定積分可以計(jì)算出此截面的面積，從而算出此時的儲油量。 然后 分析 罐體變位 （ ?? ） 后儲油量與 油面 高度的變化關(guān)系。由于此時罐體傾斜，罐內(nèi)油體各截面面積不相同，這比無變位時的情況復(fù)雜得多，無法直接得到截面面積，但是，在某一油位高度下可以確定與兩端一定距離截面的面積表達(dá)式，再通過定積分來求出罐內(nèi)油的體積 ，這樣可以通過討論不同油面高度的情況下，儲油量與油位高度的關(guān)系，最后再通過分析對比理論值與實(shí)際值間的差別與聯(lián)系來處理結(jié)果。 在本文后面的模型建立和求解過程中有該分析過程的詳細(xì)解答 。 問題二 ： 考慮實(shí)際儲油罐的情況時，需要增加兩 端的球冠體，同時儲油罐的變位參數(shù)變?yōu)??， ?，這樣問題變得 更為復(fù)雜。考慮運(yùn)用積分等數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)的理論表達(dá)式 ，再通過模型的建立和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 尋找適當(dāng)?shù)乃惴▉?確定變位參數(shù)的大小。 通過理論和 實(shí)際數(shù)據(jù)的統(tǒng)一整合后，對罐容表進(jìn)行標(biāo)記，最后再通過附錄中的數(shù)據(jù) 進(jìn)行 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性 。 關(guān)于變位識別，可以通過判斷變位參數(shù)是否為 0 來確定罐體是否傾斜。 在后面的求解過程中我們給出了 該分析 的 較 詳細(xì) 解答過程 。 3 三、 模型假設(shè) （ 1）計(jì)算罐體內(nèi)的儲油量（油的體積）時，忽略罐體內(nèi)出油管、進(jìn)油管、油位探針等的 體積； （ 2）在各管道內(nèi)及罐壁內(nèi)表面吸附、殘留的油的體積忽略不計(jì)； （ 3）統(tǒng)計(jì)罐體內(nèi)油的體積時，不考慮因壓強(qiáng)、溫度等的不同而導(dǎo)致油的密度、分布不均勻等引起的問題； （ 4）對容器壁等的厚度忽略不計(jì)； （ 5）對實(shí)際儲油罐，發(fā)生傾斜時，兩端球冠體的油面處理為與傾斜面平行。 四、 符號說明 ??Sh： 油面高度為 h 時， 罐體內(nèi)油體截面面積； ??Vh：油面高度為 h 時，罐體內(nèi)的儲油量； l ： 兩端平頭的小橢圓型儲油罐臥式長度； 1l ： 油浮子到左側(cè)橢圓面的距離； 2l ： 油浮子到 右 側(cè)橢圓面的距離； 3l ： 小橢圓型儲油罐的高度； h ： 儲油罐油浮子處量得垂直油罐底 面的油的高度； H ： 儲 油罐中點(diǎn)處量得垂直油罐底 面的 油的 高度 ； 1h ： 實(shí)際儲油罐實(shí)際油面高度； R ： 實(shí)際儲油罐圓柱體的截面半徑； r ： 實(shí)際儲油罐兩端球冠體的半徑； L ： 實(shí)際儲油罐圓柱體的長度 。 五、 模型的建立與求解 問題一 基于以 上對問題的詳細(xì)分析 ， 我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型來 求解罐體變位對罐容表的影響。 罐體無變位 時 ， 模型的建立 與求解 ： 此時罐體內(nèi)油的截面積相同， 為橢圓 陰影 部分 的 面積， 現(xiàn) 以橢圓中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 XOY 來求出其面積。 如圖 1 所示： 4 圖 1 先求得如圖橢圓的方程為： ? ?22 1 0 . 8 9 , 0 . 6xy a m b mab? ? ? ?其 中 則圖中 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： 221,yA a yb??????? 221,yB a yb???????? 積分微元的面積為 ： 2221 ys a dyb??⊿ 橢圓陰影部分的面積為 ： ? ? 2 221 0 .6bhbyS h a d y?????? 則 可以得到油面高度為 h 時罐體內(nèi)儲油量為： ? ? ? ? 22V = S = 2 1bhbyh h l a d y lb????? 其中： 0. 89 , 0. 6 , 2. 45a m b m l m? ? ? 通過 中數(shù)值積分可以得到 ??Sh、 ??Vh的表達(dá)式為： 5 ? ? ? ? ? ?? ?0 .1 8 a r c o s 1 / 0 .6 0 .0 9 sin 2 a r c o s 1 / 0 .6 0 .1 8 2 .9 1S h h h ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ?0 .1 8 a r c o s 1 / 0 .6 0 .0 9 sin 2 a r c o s 1 / 0 .6 0 .1 8 7 .2 7V h h h ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以得到在無位變的情況下儲油量 ??Vh與罐內(nèi)油位高度 h 的對應(yīng)關(guān)系。 罐體傾斜角 ?? ， 模型的建立 與求解 ： 罐體傾斜時，當(dāng)油面高度變化 ? ?0 ?? 時 ，罐體內(nèi)儲油量與油面高度對應(yīng)關(guān)系在不斷 改變，需要分段進(jìn)行考慮。 設(shè)在油罐中點(diǎn)處量得垂直油罐底面的油 高為 H ,則由幾何關(guān)系 (見圖 2)可得到： 1 ta n ta n2lH h l ??? ? ? ① 當(dāng) ? ?2 3 1ta n ta n 0 .1 4 7 1 .1 7 1l h l l h??? ? ? ? ?即時，如圖 2 所示 按照 中相同 方法 通過 積分可推導(dǎo)得到此時儲油量 ? ?VH與 H 關(guān)系： ? ? 3212 ta nHHV H a b lf l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 其中 ： 21 2H1 a r c s in 12H H H Hf b b b b b?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?； ? ?2 2/112 1 / 1H H bf b Hb??? ?????? ?? 這樣就得到 ??Vh與 h 的對應(yīng)關(guān)系。 ② 當(dāng) ? ?20 ta n 0 0. 14 7h l h?? ? ? ?即時，如 圖 3 所示 此時油罐內(nèi)的容油量可認(rèn)為是長為 39。 H2 tanll ??? ，高為 39。 ta n24HHH ??? 的油罐，按照前述方法可求出 ??Vh： ? ? 39。39。39。 39。 39。 3 212 ta nHHV H a b l f l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 6 圖 2 圖 3 ③ 當(dāng) ? ?3 1 3ta n 1 .1 7 1 1 .2l l h l h?? ? ? ? ?即時 ， 如 圖 4 所示 此時 31tanl h l ??? ,可按 1 tanhl?? 求出圖 4 中陰影部分面積 39。V ,再用罐體的總?cè)莘e減去 39。V 即可得到儲油量 V ，其中 39。V 的求法 與 ②中 的一樣可
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