20xx年數(shù)學建模競賽a題論文-展示頁
2024-11-18 10:06本頁面
【正文】 接得到截面面積，但是，在某一油位高度下可以確定與兩端一定距離截面的面積表達式，再通過定積分來求出罐內(nèi)油的體積 ，這樣可以通過討論不同油面高度的情況下，儲油量與油位高度的關系，最后再通過分析對比理論值與實際值間的差別與聯(lián)系來處理結果。臥式儲油罐的長度一定為 米，且為兩端平頭的橢圓柱體，當油位高度一定時，罐內(nèi)油體各截面面積相同，利用一重定積分可以計算出此截面的面積，從而算出此時的儲油量。 二、 問題分析 問題一： 要確定罐體變位對罐容表的影響，需要研究罐體變位前后罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系。請利用罐體變 位后在進 /出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件 2） ，根據(jù) 所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為 10cm的罐容表標定值。 建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為 1cm的罐容表標定值。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容 表進行重新標定。 1 儲油罐的變位識別與罐容表標定 【 摘要 】 2 一、 問題重述 背 景 通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用 油 量計和油位計來測量進 /出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。 問題提出 問題一 ：為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為 ?=? 的縱向變位兩種情況做了實驗（實驗數(shù)據(jù)如附件 1所示）。 問題二 ：對于實際儲油罐，試建立罐 體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（ 縱向傾斜角度 ?和橫向偏轉角度 ?） 之間的一般關系。進一步利用附件 2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。 首先分析罐體無變位時的情況。 然后 分析 罐體變位 （ ?? ） 后儲油量與 油面 高度的變化關系。 在本文后面的模型建立和求解過程中有該分析過程的詳細解答 ?？紤]運用積分等數(shù)學推導得到罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)的理論表達式 ，再通過模型的建立和實驗數(shù)據(jù) 尋找適當?shù)乃惴▉?確定變位參數(shù)的大小。 關于變位識別，可以通過判斷變位參數(shù)是否為 0 來確定罐體是否傾斜。 3 三、 模型假設 （ 1）計算罐體內(nèi)的儲油量（油的體積）時，忽略罐體內(nèi)出油管、進油管、油位探針等的 體積； （ 2）在各管道內(nèi)及罐壁內(nèi)表面吸附、殘留的油的體積忽略不計； （ 3）統(tǒng)計罐體內(nèi)油的體積時，不考慮因壓強、溫度等的不同而導致油的密度、分布不均勻等引起的問題； （ 4）對容器壁等的厚度忽略不計； （ 5）對實際儲油罐，發(fā)生傾斜時，兩端球冠體的油面處理為與傾斜面平行。 五、 模型的建立與求解 問題一 基于以 上對問題的詳細分析 ， 我們可以建立以下的數(shù)學模型來 求解罐體變位對罐容表的影響。 如圖 1 所示： 4 圖 1 先求得如圖橢圓的方程為： ? ?22 1 0 . 8 9 , 0 . 6xy a m b mab? ? ? ?其 中 則圖中 A、 B 兩點的坐標分別為： 221,yA a yb??????? 221,yB a yb???????? 積分微元的面積為 ： 2221 ys a dyb??⊿ 橢圓陰影部分的面積為 ： ? ? 2 221 0 .6bhbyS h a d y?????? 則 可以得到油面高度為 h 時罐體內(nèi)儲油量為： ? ? ? ? 22V = S = 2 1bhbyh h l a d y lb????? 其中： 0. 89 , 0. 6 , 2. 45a m b m l m? ? ? 通過 中數(shù)值積分可以得到 ??Sh、 ??Vh的表達式為： 5 ? ? ? ? ? ?? ?0 .1 8 a r c o s 1 / 0 .6 0 .0 9 sin 2 a r c o s 1 / 0 .6 0 .1 8 2 .9 1S h h h ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ?0 .1 8 a r c o s 1 / 0 .6 0 .0 9 sin 2 a r c o s 1 / 0 .6 0 .1 8 7 .2 7V h h h ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以得到在無位變的情況下儲油量 ??Vh與罐內(nèi)油位高度 h 的對應關系。 設在油罐中點處量得垂直油罐底面的油 高為 H ,則由幾何關系 (見圖 2)可得到： 1 ta n ta n2lH h l ??? ? ? ① 當 ? ?2 3 1ta n ta n 0 .1 4 7 1 .1 7 1l h l l h??? ? ? ? ?即時，如圖 2 所示 按照 中相同 方法 通過 積分可推導得到此時儲油量 ? ?VH與 H 關系： ? ? 3212 ta nHHV H a b lf l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 其中 ： 21 2H1 a r c s in 12H H H Hf b b b b b?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?； ? ?2 2/112 1 / 1H H bf b Hb??? ?????? ?? 這樣就得到 ??Vh與 h 的對應關系。 H2 tanll ??? ，高為 39。39。 39。 3 212 ta nHHV H a b l f l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 6 圖 2 圖 3 ③ 當 ? ?3 1 3ta n 1 .1 7 1 1 .2l l h l h?? ? ? ? ?即時 ， 如 圖 4 所示 此時 31tanl h l ??? ,可按 1 tanhl?? 求出圖 4 中陰影部分面積 39。V 即可得到儲油量 V ，其中 39。39。39。 39。 39。 39。 3 212 ta nHHV H a b l f l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 其中 ： 39。 32 tanlHll ???? , 39。 33 ta n24l H l HH ????? 所以 ： ? ? ? ? 39。 39。39。 39。39。39。 39。 在 中油面高度一定時可以得到油體截面面積，當高度 ??hx改變時 ， 按同樣的方法可以 得 到 ： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?0 . 1 8 a r c o s 1 / 0 . 6 0 . 0 9 s in 2 a r c o s 1 / 0 . 6 0 . 1 8 2 . 9 1S x h x h x ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? 其中： ? ? 1 ta n ta nh x l x???? 所以 ： 7 ? ?1 3m a x04 .1 0 2 3 1 0lV S x d x ?? ? ?? 圖 4 圖 5 ⑤ 當 ? ?3 l h??即 時， 如圖 6 所示 此時罐體內(nèi)儲油量并不一定最大， 可得到此時 最大值 即為 罐體的容積 為m ax abl???，最小值為 情況 ③中的臨 界狀態(tài)為 minV 。V ,再用總面積減去 39。309 7 .4 0 0 8 1 0lV S x d x ?? ? ?? 所以： 39。39。 39。39。39。39。 39。 H2 tanll ??? ， 39。39。39。 9 通過 罐體內(nèi)儲油量 ??Vh與油面高度 h 的理論表達式可以得到 各 組相對應的理論 數(shù)據(jù) 。經(jīng)過分析，造成這些情況的原因可能是理論 油 量計算中儲油罐的形狀參數(shù)是外側的參數(shù)，實際測量中儲油罐的內(nèi)側參數(shù)不好得到，故使用外側參數(shù)進行計算， 升即為每個高度差 h 對應的容器壁所占的體積。 由此得到無變位進油 油 量
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