20xx年數(shù)學建模競賽a題論文-在線瀏覽
2025-01-09 10:06本頁面
【正文】 的理論修正公式： ? 理實 未修正理論油 量和實際 油 量與油面高度關系的散點圖如圖 8 所示： 10 050010001500202025003000350040004500 高度（mm）流量(L)實際流量與高度的關系未修正理論流量與高度的關系 圖 8：未修正理論 油 量和實際 油 量與油面高度關系散點圖 修正后理論 油 量和實際 油 量與高度關系的散點圖如圖 9 所示： 050010001500202025003000350040004500 高度（mm）流量（L）實際流量與高度的關系修正后理論流量與高度的關系 圖 9：修正后理論 油 量和實際 油 量與高度關系散點圖 ② 在無變位出油 的情況下，數(shù)據(jù)沒有給出初始油量，由上面無變位進油得到的修正理論油 量公式得到最 低油位高度的 油 量，以這個值作為初始值得到實際 油量，與由修正理論 量公式得到的數(shù)據(jù)進行對比，可以發(fā)現(xiàn)差值非常小，而這個差值可能是由于進油和出油兩個不同過程中油受到壓強不同，密度有變化造成的， 11 由于差值非常小，本文的研究中可以忽略，由此可將出油與進油兩個過程 油 量與油位高度的關系統(tǒng)一，均采用進油過程的 油 量與高度關系。 a、畫散點圖：以理論數(shù)據(jù)為 x 值，實際數(shù)據(jù)為 y 值畫出散點圖，如圖 10 所示。 需要從已知數(shù)據(jù)得到 10 ??和 的估計值 10 ?? ??， ，即可求出一元線性回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? c、參數(shù)求解：直接利用 Matlab 統(tǒng)計工具箱中的命令 regress 求解，并用 rcoplot命令進行殘差分析 ，得到下面的結果（程序 及詳細結果見附錄）： ? ? ? 殘差圖如圖 11 所示，從途中可以看出除了第一個和第二個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明得到的回歸模型 12 能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第一個和第二個數(shù)據(jù)可視為異常點。 回歸方程與散點圖的對比圖如圖 12 所示（使用 Matlab 繪制）： 1000 1500 2020 2500 3000 3500 40005001000150020202500300035004000理論流量實際流量 圖 12：回歸方程與散點圖的對比圖 13 通過上述一元線性回歸模型得到的實際油量與理論油量的關系，來修正理論公式，得到最后的油量公式如下： 73 .25 42 98 6VV? ? ? 理實 用修正后的油量公式算出的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)進行對比，差值減小了很多，如圖 13 所示： 05001000150020202500300035004000 高度（m m ）流量（L）實際流量與高度的關系修正后理論流量與高度的關系 圖 13：修正后理論油量和實際油量與高度的關系圖 ③ 考慮傾斜變位出油的情況時，與無變位進油一樣沒有油量的初始值，由變位進油的分析得到油位高度在 附近理論值與實際值最接近，由此算出出油時油位高度為 升的理論油量，以這個值作為實際值的初始值，通過累加進油量得到每個油位高度對應的實際油量。 05001000150020202500300035004000 高度（mm）油量（L）實際油量與高度的關系理論油量與高度的關系 圖 14：變位出油的理論油量和實際油量與高度的關系 14 表 1：標定值 高度（ mm） 無變位標定值（ L） 傾斜變位標定值 （ L） 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 注：表 1 給出罐容表標定 值最后的 10 個，全部 的 標定值 在附錄中。 問題二 模型的建立 經(jīng)查閱資料 ， 考慮到 實際 油罐體在變位后 對油位高度有一定 的要求， 為 安全高度 。 首先計算罐體主體圓柱體 中油的 的體積 V身 ① ?的引入 15 當只有橫向偏轉角度 ?時， 如圖 16所示，罐體 內(nèi)油位實際高度值 1h 和所讀出 油位高度值 h ，由圖上幾何關系可得： 1 ( ) c osh h R R?? ? ? 圖 16 ② ? 的引入 在圖 16 所建立的坐標系中，可以得到圓的方程 ? ?2 2 2 y R R? ? ?,則圖示A 點坐標為 ? ?22,R y y? ，積分可得到油面面積為： ? ? 1 221 2RhRS h R y d y?????? 通過 MATLAB 軟件進行數(shù)值積分得： ? ? ? ? ? ?? ?111 si n 2 a r c o s 1 / 1 .52 .2 5 a r c o s 1 / 1 .5 2 hS h h ??? ??? ? ? ? ? ????? 當縱向傾斜角為 ? 時， 距離 左端原點 水平距離 為 x 處的實際油位高度為： ? ?11 2 ta n ta nh x h x??? ? ? 將 ??1hx帶入到 ? ?1Sh 中 可以得到 ??Sx： 16 ? ? ? ? ? ?? ?? ?11 si n 2 a r c os 1 2 t a n t a n / 2 t a n t a a r c os 1 32 hxhxSx ???? ??? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??????? 所以罐體主體圓柱體的體積即可表示為： ? ?L0 SV x dx??身 再計算 出兩端 球冠體 中油 的體積 V頭 在求解球冠體的體積時，分析后可通過一個簡單的近似來簡化計算，即使球冠體中水平的油面近似處理為平行于罐體傾斜時的平面。0hV S y dy??頭 其中： 39。L002 S 2 hV V V x d x S y d y? ? ? ???身 頭 ， 其中 ： 39。 編程實現(xiàn)： Step1： 采用高斯 牛頓公式，直接求出 ??和 . Step2： 取 ??和 的初值均為 0，得到對應的雅克比矩陣 J0 與 y f0 . Step3： 由遞推公式 ?， 21)]()[()]()([ 11 ???? ?? ifyJJJ iiTiiTii ?????? .算出每一次遞推的參數(shù)估計值，直到估計值不變，即為 ?? . 模型求解可利 用 MATLAB 統(tǒng)計工具箱中的 nlinfit 命令實現(xiàn)，使用格式為： [beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0) 其中輸入 x 為自變量數(shù)據(jù)矩陣，每列一個變量； y 為因變量數(shù)據(jù)向量； model 為模型的 M 函數(shù)文件名， M 函數(shù)形式為 y=f(beta,x)， beta 為待估計參數(shù)； beta0 為給定的初始參數(shù)。參數(shù) beta 的置信區(qū)間用命令 nlparci(beta,R,J)得到。 表 2：數(shù)值結果 參數(shù) 參數(shù)估計值 置信區(qū)間 ? ,?????? ? , ?????? 結果的分析 由上述理論公式得出來的理論油量與實際油量 有一定偏差，同問題一中的處理 方式一樣，采用回歸方法找到它們內(nèi)在的聯(lián)系。這里采用第一問數(shù)據(jù)分析的結論，即油位高度越大，越接近滿灌時，變位對標定值的影響越小，采集數(shù)據(jù)中油高最大值為 ，顯示油量容積為，將這個油量容積值近似為實際油量值，得到后面出油過程中不 同時刻的實際油量） 首先畫出理論油量與實際油量的散點圖，由圖可看出 點 大致在一條直線附近，建立一元線性回歸模型，用 Matlab 統(tǒng)計工具箱中的命令 regress 求解，并用rcoplot 命令進行殘差分析 ，得到下面的結果（程序及詳細結果見附錄）： 90 .3 62 1 0. 99 44yx? ? ? 殘差分析與檢驗均與第一問的處理方法一樣，這里不再贅述。用修正后的油量公式標定油位高度間隔為 10cm的罐 容表，得到部分結果如下表 3，全部結果見附錄。 六、 模型的評價與推廣 ： 模型的 優(yōu)點 ： （ 1）通過分類討論，積分
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