20xx美國數(shù)學建模a題優(yōu)秀論文-在線瀏覽
2025-01-09 02:03本頁面
【正文】 ,通過面積元 dS流入體積元的熱量 dQ 與沿面積元外法線方向的溫度變化率 成正比 , 也與 dS和 dt成比 其中 , k 是 導 熱 系 數(shù) ,u(x,y,z) 是 導 熱 體 中 的 溫 度 通過曲面進入導熱體的總熱量 : 通過曲面進入導熱體的總熱量 : 溫度升高所需熱量： u(x,y,z,t1)]dxdydz V 其中， 為物質密度， c為物質比熱容 根據(jù)能量守恒有： 則得到： k為物質導熱率 記 于是 于是三維熱傳導方程如下： 即： 由此，我們可以得到二維熱傳導方程： 初值條件： 邊界條件：由于我們假設熱流是從烤盤的上下面?zhèn)鬟f，四周絕緣，所以使用第二類邊界條件（ Neumann邊界條件）： 其中 表示 u沿邊界 上的單位外法向 n的導數(shù)，而 g(x,y,t)表示 上的已知函 數(shù) 于是建立二維熱傳導模型如下： 當 S表示不同烤盤表面時我們就可以得到六種形狀烤盤的熱傳導模型 ． 2 模型解答 我們通過查閱相關資料 得到烤盤材料為鐵時密度 3，比熱容 ，導熱率 ， g(x,y,t)= ；又因為題目要求烤盤面積一定為 A，為了計算；我們取 。 我們首先運用 sol 軟件對烤盤溫度分布進行計算，容易可 以得到如上圖1,3,5,7,9,11，所示的結果，我們協(xié)調在多邊形的對角線上取得 10 個點，并且運用 sol 軟件輸出他們的熱流值，然后計算出這 10 個熱流值的標準偏差，并以此數(shù)據(jù)作為衡量烤盤上熱量均衡分布的依據(jù)。但是本題研究的對象時由矩形到圓形的所有多 邊形，目標數(shù)量較多，因而我們先對矩形進行如上過程的分析，首先，我們在矩形的一條對角線上選取10個點分別記作 然后根據(jù)下圖所示輸出他們的坐標。 10 i 10 而對于其他的多邊形，我們可以以矩形為參考，運用相同的方法進行運算 ，得到了下表 （盤數(shù)量最大）模型 我們首先得到的形狀大小的烤盤是圓、六角、橢圓、矩形、圓角矩形（六種烤盤具體參數(shù)如見第一問的表 1）。 ， 或 ， 。 然后我們把烤箱內能夠放置的烤盤的最大數(shù)記為 N 首先我們以圓角矩形為例子進行舉例。因此，我們知道的矩形框的寬度是，矩形框的長度是 。在 ，我們已經(jīng)計 算出不同形狀的烤盤熱分布均勻度。 。所以我們必須讓 。 規(guī)范化 在 0到 ，而在 60到 100的平底烤盤數(shù)量。所 以我們需要對第 ，使其在同一個范圍內。 在我們的問題中，我們有兩個評價指標 N 和 SD，每一個指標都有六個對應的值。其中，令 ， i表示標準化后的值， 我們利用相同的方法來計算出 SD的值，為了方便，我們將數(shù)據(jù)集中在一個表格中，這兩個指標處理后的數(shù)據(jù)如表 2所示 : 當 W等于時，權重 p與烤
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