【正文】 函數(shù)的性質(zhì)知識要點一、 函數(shù)的奇偶性1．定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：（1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2）由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。2．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：（1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；（2） 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；（3） 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。3．簡單性質(zhì)：（1）圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；（2）設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù) 均可寫成一個奇函數(shù) 與一個 偶函數(shù) 和的形式，則 。4． 奇偶函數(shù)圖象的對稱性(1)若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱；(2)若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點中心對稱；5．一些重要類型的奇偶函數(shù)：（1） 函數(shù) 是偶函數(shù)，函數(shù) 是奇函數(shù)；（2）函數(shù) 且是奇函數(shù)；（3）函數(shù) 且是奇函數(shù)；（4）函數(shù) 且是奇函數(shù)。二、函數(shù)的單調(diào)性1．定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)（3）函數(shù)單調(diào)性的兩個等價形式： 在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）。2．如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。3．設(shè)復(fù)合函數(shù)y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是減函數(shù)，簡稱“同增異減”。4．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（1） 任取x1，x2∈D，且x1x2；（2）作差f(x1)－f(x2)；（3）變形（通常是因式分解和配方）；（4）定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；（5） 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。5．簡單性質(zhì)（1）奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；（2）偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；（3）在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。三、函數(shù)的最值1．定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。注意：（1）函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；（2）函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。2．利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ海?）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2）利用圖象求函數(shù)的最大（小）值； （3） 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)。 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；函數(shù)的單調(diào)性A組1．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)”的是________．①f(x)＝?、趂(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex?、躥(x)＝ln(x＋1)2．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)＝ f(logax)(0a1)的單調(diào)減區(qū)間是________．3．函數(shù)y＝＋ 的值域是________．4．已知函數(shù)f(x)＝|ex＋|(a∈R)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．5．如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(x)≥M(M為常數(shù))，稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函數(shù)中，有下確界的所有函數(shù)是________．①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝6．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)bg(x)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍.B組1．下列函數(shù)中，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]的是________．①y＝－?、趛＝－(x－1)　③y＝x2－2?、躽＝－|x|2．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．3．若函數(shù)f(x)＝x＋(a0)在(，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有0，則下列結(jié)論正確的是________．①f(3)f(－2)f(1)?、趂(1)f(－2)f(3) ③f(－2)f(1)f(3)?、躥(3)f(1)f(－2)5．已知函數(shù)f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是________．6．函數(shù)f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(3,0)，定義函數(shù)g(x)＝f(x)(x－1)，則函數(shù)g(x)的最大值為________．7．已知定義域在[－1,1]上的函數(shù)y＝f(x) 的值域為[－2,0]，則函數(shù)y＝f(cos)的值域是________．8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．9．若函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a0，a≠1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．10．試討論函數(shù)y＝2(logx)2－2logx＋1的單調(diào)性．11．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f()＝f(x1)－f(x2)，且當x1時，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在實數(shù)a，b，使f(x)同時滿足下列三個條件：(1)在(0,1]上是減函數(shù)，(2)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，(3)f(x)，求出a、b；若不存在，說明理由． 函數(shù)的性質(zhì)A組1．設(shè)偶函數(shù)f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(b＋2)的大小關(guān)系為________．2．定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)、f(11)、f(80)的大小關(guān)系為________．4．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿足f(2x－1)f()的x取值范圍是________．5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，當f(－3)＝－2時，f(2011)的值為________．6．已知函數(shù)y