奇偶性與單調(diào)性及典型例題(已修改)
2025-04-06 00:27 本頁面
【正文】 奇偶性與單調(diào)性及典型例題 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象. 難點磁場 (★★★★)設(shè)a0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù). 案例探究 ?。劾?］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0x1時f(x)0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減. 命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、★★★★題目. 知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想. 錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果賦值不夠準確，運算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得. 技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點. 證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0x1x21,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由題意知f()0， 即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù). ［例2］設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間. 命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、★★★★★級題目. 知識依托：逆向認識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題. 錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數(shù)判定程序紊亂. 技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法. 解：設(shè)0x1x2,則－x2－x10，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增， ∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減. 由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+，得0a3. 又a2－3a+1=(a－)2－. ∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］ 結(jié)合0a3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3). 錦囊妙計 本難點所涉及的問題及解決方法主要有： (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性. 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性. 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的磁場及訓練認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一. 復合函數(shù)的奇偶性、：既把握復合過程，又掌握基本函數(shù). (2)加強逆向思維、下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應用. 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( ) (x)=(x－1) (x)= (x)= (x)= 2.(★★★★★)函數(shù)f(x)=的圖象( ) =1對稱 二、填空題 3.(★★★★)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是_________. 4.(★★★★★)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x1x2),且在［x2,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________. 三、解答題 5.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax+ (a1). (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù). (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根. 6.(★★★★★)求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù). 7.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=： (1)f(x)是奇函數(shù). (2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a. 8.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對m、n∈R
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