奇偶性與單調(diào)性及典型例題-wenkub
2023-04-09 00:27:12 本頁面
【正文】 ∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù). 8.(1）證明：設(shè)x1＜x2,則x2－x1－－,由題意f(x2－x1－)0, ∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］0, ∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).(2)解：f(x)=2x+. 難點8 奇偶性與單調(diào)性(二) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識. ●難點磁場 (★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ?。劾?］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值. 命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目. 知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題. 錯解分析：題目不等式中的f號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域. 技巧與方法：借助奇偶性脫去f號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運算和求最值. 解：由且x≠0,故0x, 又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)， ∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,綜上得2x,即A={x|2x}, ∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=－4. ［例2］已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由. 命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目. 知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題. 錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法. 技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題. 解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)(cos2θ－3)f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－32mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－20. 設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正. ∴當(dāng)0,即m0時，g(0)=2m－20m1與m0不符； 當(dāng)0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－20 4－2m4+2,∴4－2m≤2. 當(dāng)1,即m2時，g(1)=m－10m1.∴m2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4－2. ●錦囊妙計 本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)，并具有綜合分析問題和解決問題的能力. (2)，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應(yīng)用題中的最值問題. ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x,則f()等于( ) B.－ D.－ 2.(★★★★)已知定義域為(－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)0,則a的取值范圍是( ) A.(2，3) B.(3，) C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)0的解集為_________. 4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________. 三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加
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