二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(已修改)
2025-05-28 02:58 本頁面
【正文】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識(shí)要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m，n]上的最值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是 當(dāng)時(shí)，可類比得結(jié)論。二、例題分析歸類：（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1. 軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函數(shù)是定義在區(qū)間[0，3]上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在［0，3］上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖1練習(xí). 已知，求函數(shù)的最值。解：由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)的最小值為，最大值為。圖2軸定區(qū)間變
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