sxfx214第二類曲面積分(已修改)
2025-05-19 18:14 本頁(yè)面
【正文】 第 2 1 章 曲線 積分 和曲面積分 的 計(jì)算 167。 2 1 . 4 第 二 類曲 面 積分 一． 曲面的側(cè) 的概念 1. 雙側(cè)曲面，單側(cè)曲面 設(shè)S是一光滑的曲面片，0PS??，過(guò)點(diǎn)的法線有兩個(gè)方向，選定其一作為正向；當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P從0P點(diǎn)出發(fā)沿S上任一條閉曲線連續(xù)移動(dòng)又回到0P時(shí)，法線也回到0P，若此時(shí)的法線正向與出發(fā)時(shí)的法線正向相同，稱這種曲面為 雙側(cè)曲面 ，否則稱為 單側(cè)曲面 ． 通常所見(jiàn)的曲面都是雙側(cè)曲面，如球面，拋物面，錐面， e t c ． ； 單側(cè)曲面也是存在的，如 M 246。 b i u s 帶， K l e i n 瓶， e t c ． 下面來(lái)看看 M 246。 b i u s 帶 為何是單側(cè)曲面？ （ 2 ）若 S 是閉曲面，則稱其法線n 指向 S 外面的一側(cè)為 外側(cè) ，另一側(cè)為 內(nèi)側(cè) ． 同樣可有 左側(cè)，右側(cè)，前側(cè)和后側(cè) 的概念． 2. 雙側(cè)曲面的側(cè) （ 1 ）若曲面 S 由方程 ,z f x y? （ ） ，,x y D?（ ） 給出，則稱 ,2nz ??（ ） 的一側(cè)為 上側(cè) ， ,2nz ??（ ） 的一側(cè)為 下側(cè) ． 曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè) 曲面分 上 側(cè)和 下 側(cè) 二． 第二類曲面積分 1. 空間穩(wěn)定流速場(chǎng)的流量 設(shè)穩(wěn)定流速場(chǎng) ( ) ( ( ),A M P M? ( ) , ( ) )Q M R M ， 3( , , ) RM x y z ? ，在雙側(cè)光滑曲面 S 上連續(xù)，求在單位時(shí)間內(nèi)流速場(chǎng) ()AM 流過(guò)曲面 S 的體積（稱為流量） Q ． 0 ( , , )M x y z S??，設(shè)在點(diǎn)0M的單位法向 ( c o s , c o s , c o s )n ? ? ?? ，取曲面微元 d? ，則在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)d? 的流量為 c o s ( , )d Q A A n d ?? AnA d A n dAn???? ? ? ?? ( c o s c o s c o s )P Q R d? ? ? ?? ? ? 同底等高柱體的體積相等 即 d? 分別在 yz ， zx ， xy 平面上的投影．于是， d Q P d y d z Q d z d x R d x d y? ? ?， c o s d d y d z?? ? ， c o s d d z d x?? ? ，c o s d d x d y?? ? ， 從而流量 SQ d Q? ?? S A n d ????? ( c o s c o s c
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