高階偏導(dǎo)數(shù)ppt課件(已修改)
2025-05-19 12:10 本頁面
【正文】 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （三） 多元微積分學(xué) 第一章 多元函數(shù)微分學(xué) 曾金平教案編寫：劉楚中 曾金平電子制作：劉楚中第一章 多元函數(shù)微分學(xué) 本章學(xué)習(xí)要求： 1. 理解多元函數(shù)的概念。熟悉多元函數(shù)的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。 2. 知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。會(huì)求二元函數(shù)的極限。知道極限的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。 3. 理解二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。了解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的幾何意義。 4. 熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算方法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。能熟練求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。了解求偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無關(guān)的條件。 5. 理解方向?qū)?shù)的概念，并掌握它的計(jì)算方法以及它與梯度的關(guān)系。 6. 會(huì)求隱函數(shù) (包括由方程組確定的隱函數(shù) )的一階、二階偏數(shù)。 7. 知道二元函數(shù)的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。 10. 了解空間 (平面 )曲線的參數(shù)方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念 ,并能熟 練求出它們的方程。知道曲線族的包絡(luò)的概念及其法。 12. 理解二元函數(shù)無約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無約 束極值。了解條件極值（有約束極值）的概念，能熟練運(yùn)用拉 格朗日乘數(shù)法求條件極值。 13. 掌握建立與多元函數(shù)極值有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。會(huì)求解一些 較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。 第七節(jié) 高階偏導(dǎo)數(shù) 多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似 . 一般說來 , 在區(qū)域 ? 內(nèi) , 函數(shù) z = f (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù) ,xz?? yz?? 仍是變量 x , y 的多元函數(shù) , 如果偏導(dǎo)數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 依此類推 , 可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù) . 仍可偏導(dǎo) , 則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來函數(shù) ,xz?? yz?? 一般地 , 若函數(shù) f (X) 的 m－ 1 階偏導(dǎo)數(shù)仍可偏 導(dǎo) ,則稱其偏導(dǎo)數(shù)為原來函數(shù)的 m 階偏導(dǎo)數(shù) . 二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)均稱為高階偏導(dǎo)數(shù) , 其 中 , 關(guān)于不同變量的高階導(dǎo)數(shù) , 稱為混合偏導(dǎo)數(shù) . 的二階偏導(dǎo)數(shù)：二元函數(shù) ),( yxfz ?xz??xy ???????????xzx ???????????xzyyz??xy ?????????????yzx ?????????????yzyxxx ????? 2yyy ????? 222xz??yxz???2xyz???222yz?? 例 高階偏導(dǎo)數(shù)還可使用下列記號 1122ffx z xx ????????2222ffyzyy ????????122ffyx z xy ?????????212ffxyzyx ????????? 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共 22 = 4 項(xiàng) 的三階偏導(dǎo)數(shù)：二元函數(shù) ),( yxfz ?22xz??3322xzxzx ?????????????yxzxzy ??????????????2322xy22xz??22yz??yxz???2xyz???2 例 1的三階偏導(dǎo)數(shù)：二元函數(shù) ),( yxfz ?22yz?? xyzyzx ??????????????23223322yzyzy ???????????
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