混沌動(dòng)力學(xué)ppt課件(已修改)
2025-05-16 04:59 本頁(yè)面
【正文】 高等工程地質(zhì)學(xué) 山東大學(xué) 山東大學(xué)研究生專業(yè)基礎(chǔ)課 2022年 9月 主講教師：薛翊國(guó) 第二十二章 混沌動(dòng)力學(xué) 混沌動(dòng)力學(xué) (chaotic dynamics) “混沌”一詞譯自英文“ Chaos”，意為“混沌”、“紊亂”、“無規(guī)律”、甚至“湍流”。 “混沌”一詞自古以來，國(guó)內(nèi)外的書籍中就早有使用，如我國(guó)的古代神話中認(rèn)為在盤古王開天辟地之前，宇宙就是一片混沌狀態(tài)。 1963年 Lorenz在其論文 《 確定性非周期流 》 中提出了混沌的思想 (對(duì)初值的敏感性 )。 但作為一個(gè)科學(xué)術(shù)語，一般認(rèn)為李天巖和約克（ Yoke）在 1975年的論文 “周期 3則混沌” 是首次引用 Chaos一詞。 引 言 1973年 4月的一天，在美國(guó)馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系，一名叫李天巖的研究生百無聊賴地走進(jìn)導(dǎo)師約克教授的辦公室，此時(shí)李的博士論文正處于膠著階段，一時(shí)未有進(jìn)展。 約克給了李一個(gè) 區(qū)間迭代問題 ，李卻開玩笑地說這個(gè)問題的解決足以送到美國(guó) 《 數(shù)學(xué)月刊 》 上發(fā)表。 “混沌 ” 的來歷 兩個(gè)星期后，李解決了這個(gè)區(qū)間迭代問題。 如果從 x=x0開始按照公式 迭代 n次后，回到原來的地方，但當(dāng)?shù)螖?shù)小于 n時(shí)都不回到原來地方，則 x0就叫 f(x)的一個(gè) n周期點(diǎn)。 李證明， 如果區(qū)間到區(qū)間自身的函數(shù) f(x)連續(xù)，且有一個(gè) 3周期點(diǎn)，那么，對(duì)于任何正整數(shù) n， f(x)有 n周期點(diǎn)。 (周期 3則混沌 ) 李和約克把這項(xiàng)研究成果寫成論文真的寄到 《 數(shù)學(xué)月刊 》 去了，但很快論文便被退回來了，理由是“本刊不以論文形式發(fā)表研究成果，如果要發(fā)表，應(yīng)按本刊文章規(guī)格改寫”。于是，文章被扔進(jìn)了辦公室的角落里。 過了一年 (1974)，約克教授在一次會(huì)議上了解到物理學(xué)界正在為混沌現(xiàn)象感到頭痛，他立即想到這個(gè)區(qū)間迭代問題。 其實(shí)，李 —約克關(guān)于有 3周期點(diǎn)則有一切周期點(diǎn)的定理只是蘇聯(lián)一位不知名學(xué)者的沙可夫斯基定理的一個(gè)特例。 沙可夫斯基定理： 設(shè) f(x)是區(qū)間到區(qū)間自身的連續(xù)函數(shù)，又設(shè)在沙可夫斯基序中 m位于 n之前，那末如果 f(x)有 m周期點(diǎn)的話，則它一定也有 n周期點(diǎn)。 “混沌 ” 現(xiàn)象 一、氣候中的“蝴蝶效應(yīng)” 混沌現(xiàn)象首先是 1963年被美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)的。他為了預(yù)報(bào)天氣變化，把大氣動(dòng)力學(xué)方程組簡(jiǎn)化為 12個(gè)方程組 （用牛頓定律建立了溫度和壓強(qiáng)、壓強(qiáng)與風(fēng)速等之間關(guān)系），并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，因嫌參數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)太多，輸入時(shí)很麻煩，便舍去幾位，盡管舍去部分看來微不足道，可結(jié)果卻大大出乎 Lorenz的意料： 舍去與沒有舍去的模型的結(jié)果競(jìng)?cè)淮笙鄰酵?，幾乎變得完全認(rèn)不出來了 。 為了深入研究這種現(xiàn)象， Lorenz把 12個(gè)大氣動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)一階的常微分方程組，并進(jìn)行了深入細(xì)致地分析，得到同樣的結(jié)論。這三個(gè)方程也便成了經(jīng)典的混沌的例子 ——Lorenz模型 。 Lorenz通過對(duì)他所提出的方程進(jìn)行研究表明：短期的天氣預(yù)報(bào)可行，但長(zhǎng)時(shí)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的 。
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