【正文】 2022/6/1 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機(jī)試驗 ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨立性 ?第二章 隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 ? 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 ? 二維隨機(jī)變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨立的隨機(jī)變量 ? 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 4 ? 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ? 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 ? 第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 ? 總體和樣本 ? 常用的分布 5 ? 第七章 參數(shù)估計 ? 參數(shù)的點估計 ? 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) ? 區(qū)間估計 ? 第八章 假設(shè)檢驗 ? 假設(shè)檢驗 ? 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗 ? 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗 ? 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系 ? 樣本容量的選取 ? 分布擬合檢驗 ? 秩和檢驗 ? 第九章 方差分析及回歸分析 ? 單因素試驗的方差分析 ? 雙因素試驗的方差分析 ? 一元線性回歸 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計描述 ? 隨機(jī)過程的概念 ? 隨機(jī)過程的統(tǒng)計描述 ? 泊松過程及維納過程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過程的功率譜密度 7 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 8 167。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個重要不等式 9 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225. 1 ,0, 1Z E Z D ZP Z E ZP Z E Z???????????? ? ? ?? ? ? ?定理 契比雪夫不等式 ：設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望 方差 則對于任意 都有：定理的 為：等價形式? ? ? ? ,Z Z f x證明：僅就 為連續(xù)型時證之 設(shè) 的概率密度為? ? ? ?xP Z f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DZ ?????()fx??? ????10 例 1：在 n重貝努里試驗中，若已知每次試驗事件 A出 現(xiàn) 的概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦烙?n,使 A出現(xiàn)的頻率在 。 n A Z解：設(shè)在 重貝努里試驗中，事件 出現(xiàn)的次數(shù)為 ，? ?, 0. 75Z b n?則,? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E Z n p n D Z n p q n? ? ? ?? ?n ZfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1ZP P Z n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??11 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 , , , ,0 , 0 ,nnnZ Z Zl i m P ZZpZn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? 。定義 ：設(shè)隨機(jī)變量序列 若存在某常數(shù) ， 使得 均有： 則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于常數(shù) ， 記為：? ?? ?12211 , , , ,110 l i m l i m 1nnnkknnknnkZ Z Zn Y ZnP Y P Zn??? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???????定理 契比雪夫不等式的特殊情形 ：設(shè)隨機(jī)變量序列 相互獨立， 且具有相同的數(shù)學(xué)期望 和相同的方差 ， 作前 個隨機(jī)變量的算術(shù)平均： 則 ，有：? ?111 ,nnkkE Y E Z nnn ?????? ? ? ??????證明：由于 ? 11nkD Y D Zn???? ????? ? ?2 11nkk DZn ?? ?2221 n nn ??? ? ?2211 1nkknPZn ??????? ? ? ? ??????由契比雪夫不等式得： 11 1n kn kli m P Zn ???? ???? ? ? ??????12 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨立試驗中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因為這種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計法，參數(shù)估計的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 ? ?5 .3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗中發(fā)生的概率為 ，記 為 次獨立重復(fù)試驗 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：13 167。 2 中心極限定理 背景：有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨立的隨機(jī)變量的 綜合影響所形成的，而其中每個個別的因素作用都很小，這種 隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極限分布 是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它 在長達(dá)兩個世紀(jì)的時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 ? ?5. 4 定理 獨立同分布的中心極限定理? ? ? ?? ?? ?221211 2, , , , , , 1 , 2 ,1,20 , 1n i iniinni txinnnnZ Z Z E Z D Z iZnnYnZnx R l i m P Y x l i m P x e d tnn Y N??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨立同分布，則前 個變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為：有： 證明略。此定理表明，當(dāng) 充分大時， 近似服從14 ? ?5 .5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2215 . 4 ,2tbAn an n pn li m P a b e d tnpq ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ????? ?由定理 當(dāng) 時，1 0 iiAZiA?? ??第次試驗時 發(fā)生證明：令第次試驗時 未發(fā)生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im , 12AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d t q pnpq ??? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??????設(shè) 為 次貝努里試驗中 發(fā)生的次數(shù)，則對任何區(qū)間 ，有： 其中12, , , ,nZ Z Z則 相互獨立同分布? ? ? ? 12, , 1 , 2 , , ,i i A nE Z p D Z pq i n Z Z Z? ? ? ? ? ? ?且因15 例 2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時的指數(shù)分布，現(xiàn) 隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這 16只元件 的壽命的總和大于 1920小時的概率。 1 2 161 6 , , , ,Z Z Z解：記 只電器元件的壽命分別為16116 iiZZ?? ?則 只電器元件的壽命總和為 ,? ? ? ? 210 0 , 10 0iiE Z D Z??由題設(shè)? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiZZzN????????根據(jù)獨立同分布的中心極限定理: 近似服從? ? ? ? 19 20 1 19 20P Z P Z? ? ? ?? ?1 6 0 0 1 9 2 0 1 6 0 01 4 0 0 4 0 0ZP ??? ? ?? ?1 19?? ? ?16 例 3：某保險公司的老年人壽保險有 1萬人參加，每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬元。設(shè)老年人死亡 率為 ，試求保險公司在一年內(nèi)這項保險虧本的概率。 ? ?200PZ??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7Z Z b n p n p? ? ?解：設(shè) 為一年中投保老人的死亡數(shù)，則由德莫佛拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PZ ??? ? ? ?20011Z np npPnp p np p????????????? ? Z npPnp p??????????? ?1 1 ?? ? ?17 例 4：設(shè)某工廠有 400臺同類機(jī)器，各臺機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺機(jī)器工作是相互獨立的，試求機(jī) 器出故障的臺數(shù)不小于 2的概率。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 2 .8022 1 0 2 18 8 6 6 8 1 1 85 92 .8 2 .8 2 .8 2 .8 2 .8npqn p Z n p n pP Z P Z Pn p q n p q n p qZP ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, 40 0 , 0. 02 Z Z b?解：設(shè)機(jī)器出故障的臺數(shù)為 則 ，分別用三種方法計算：1. 用二項分布計算? ? ? ? ? ? 4 0 0 3 9 92 1 0 1 1 0 .9 8 4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 0 .9 9 7 2P Z P Z P Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2. 用泊松分布近似計算? ? ? ? ? ?4 0 0 0 . 0 2 8 2 1 0 1 1 0 . 0 0 0 3 3 5 0 . 0 0 2 6 8 4 0 . 9 9 6 9npP Z P Z P Z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?查表得3. 用正態(tài)分布近似計算18 第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 關(guān)鍵詞： 樣 本 總 體 個 體 統(tǒng) 計 量 2? ? 分布t ?分布F ?分布19 引言： 數(shù)理統(tǒng)