【正文】 經(jīng)濟(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué) ——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 馬統(tǒng)一 08級(jí)電信、工管 (六 ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí) (第 13章 ) 第一章隨機(jī)事件與概率 一、隨機(jī)事件 （一）基本概念 隨機(jī)現(xiàn)象： 在一定條件下結(jié)果不確定的現(xiàn)象。 隨機(jī)試驗(yàn)：滿足三個(gè)條件的試驗(yàn)。（ P2） 樣本空間、樣本點(diǎn)（ P3） 隨機(jī)事件 （ 1）基本事件（即樣本點(diǎn) ω ） （ 2）復(fù)合事件：含兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件 （二）事件的關(guān)系及運(yùn)算 五種基本關(guān)系 （ 1）包含 （ 2）相等 （ 3）互斥（不相容） 即滿足： AB=Φ （可推廣） （ 4）對(duì)立，滿足： ① AB=Φ ② A∪ B=Ω 對(duì)立事件必為互斥事件，反之不然。 3p （ 5）獨(dú)立，若 P（ AB） =P（ A） P（ B）則稱 A與 B獨(dú)立。 獨(dú)立與不相容是兩個(gè)不同的概念，不能混淆。 獨(dú)立的性質(zhì)：第 23頁定理 定理 3 三種運(yùn)算關(guān)系：并，交，差 要求： （ 1）對(duì)一個(gè)具體試驗(yàn)要弄清試驗(yàn)方式，什么是一次 試驗(yàn)？試驗(yàn)的要求是什么？一次試驗(yàn)結(jié)果指什么？ 會(huì)寫出試驗(yàn)的樣本空間； （ 2）會(huì)表示事件； （ 3）會(huì)正確運(yùn)用事件的關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算。 例 1：隨機(jī)投擲兩顆骰子 ，觀察骰子 的點(diǎn)數(shù)。 （ 1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（ 2）寫出事件 A=“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)” 二、事件的概率 （一）概率的定義（ 3種定義） 統(tǒng)計(jì)的定義 古典定義（ P7， 定義 , 含幾何概率，定義 ， P10） 公理化定義（定義 ， P14） （二）概率的性質(zhì)（ P15） 0≤P(A) ≤1 P(Ω)=1, P(Φ)=0 若 A1, …,A n,… ，兩兩互斥，則 : 單調(diào)性 若 ，則 P(A) ≤P(B) ,且 P(BA)=P(B)P(A) 加法定理 對(duì)任意兩事件 A,B,有： P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) （可 推廣） )(1)( APAP ??? ?????????????niinii APAP11?BA? 乘法公式 P(A1A2…A n) =P(A1)P(A2︱ A1)P(A3︱ A1A2) …P(A n︱ A1A2 …A n1) 特別：若 A1, …,A n獨(dú)立， 則 P(A1…A n)=P(A1)P(A2) …P(A n) 三、概率的計(jì)算 （一）古典概型 一般計(jì)算步驟： 判斷試驗(yàn)為古典試驗(yàn)，即滿足： （ 1）試驗(yàn)結(jié)果為有限個(gè)； （ 2）每個(gè)可能結(jié)果的發(fā)生是等可能的 分析樣本空間的構(gòu)成 考察所說事件 A的構(gòu)成 由公式 進(jìn)行計(jì)算 （二）幾何概型 所求概率為： P（ A） =[A所包含的區(qū)域度量 ] / [樣本空間的度量 ] （三）條件概率及其全概率公式 條件概率：若 P(B) ＞ 0，則 全概率公式 如果 B1,…,B n為一完備事件組，即滿足： （ 1） B1,…,B n兩兩不相容 i=1, …,n ； nmAP ?)()()()(BPABPBAP ? （ 2） Ω 則對(duì)任意事件 A，有： (其中 P(Bi) ＞ 0) 特別，事件 A與 A的對(duì)立事件 構(gòu)成完備事件組。對(duì)任意 事件 B，有： 貝葉斯公式（逆概率公式） 如果 B1,…,B n為一完備事件組， P(Bi) ＞ 0 ， i=1, 2， …,n 則對(duì)任一不為零的事件 A，有： ??iniB?1???niii BAPBPAP1)()()(A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ABPAPABPAPBP ?? （四）獨(dú)立試驗(yàn)序列概型 事件的獨(dú)立性： 若 P(AB)=P(A)P(B)（或 P(A︱ B)=P(A)），則稱事件 A 與 B獨(dú)立。 獨(dú)立試驗(yàn)序列概型；設(shè) E E2是互不影響的兩個(gè)試 驗(yàn)，而 A A2分別是 E1和 E2的一個(gè)事件，則 A1與 A2兩是相互 獨(dú)立的。稱 E E2是兩個(gè)獨(dú)立試驗(yàn)序列。（可推廣） n重貝努里概型 （ 1）貝努里試驗(yàn)： 如果一個(gè)試驗(yàn)滿足： ①只有兩個(gè)可能結(jié)果， A=”成功“， B=”失敗“ ② P(A)=p,P(B)=q p=q=1 (0＜ p＜ 1), 則稱此試驗(yàn)為一個(gè)貝努里試驗(yàn) ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? niiiiiiBAPBPBAPBPABP1 （ 2） n重貝努里試驗(yàn)（貝努里概型） 將一個(gè)貝努里試驗(yàn)獨(dú)立地、重復(fù)做 n次的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，稱 貝努里概型，亦稱 n重貝努里試驗(yàn)。在 n重貝努里試驗(yàn)中， 令： BK=“事件 A在 n次試驗(yàn)中發(fā)生 K次” ,則 : K=0,1, …,n 上式稱二項(xiàng)分布，記為 B（ n,p） （五）普阿松概型 普阿松公式： 它表示觀察對(duì)象隨時(shí)間進(jìn)程在單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)次數(shù) 的概率。 上面公式稱普阿松分布，記為 P（ ） )()( KPqpCBP nKnKKnK ????,2,1,0,!)( ???? ? kekkXPk??? 與二項(xiàng)分布 B（ n,p）的關(guān)系： 在 n重貝努里試驗(yàn)中，當(dāng) n較大（ n≥30），而 P較小 時(shí)，有下面計(jì)算公式： 其中 λ = n P 例 2：在例 1的試驗(yàn)中，求： （ 1） A=“點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率”； （ 2） B=“點(diǎn)數(shù)不同的概率” 例 3：某產(chǎn)品 40件，其中有次品 3件。現(xiàn)從其中任取 3件， 求下列事件的概率： （ 1） A=“3件中恰有 2件次品”；（ 111/9880） （ 2） B=“ 3件中至少有 1件次品”（ 633/2964） ,2,1,0,!)1( ???????????? ?? kekppkn kknnkn?? 例 4：一盒裝有 10只晶體管，其中有 4只次品， 6只正品，隨 機(jī)地抽取 1只測(cè)試，直到 4只次品晶體管都找到。求最后 一只次品晶體管在下列情況發(fā)現(xiàn)的概率： （ 1） A=“在第 5 次測(cè)試發(fā)現(xiàn)”。（ 2/105） （ 2） B=“在第 10次測(cè)試發(fā)現(xiàn)”。（ 2/5） 例 5：將編號(hào) 1， 2， 3的三本書任意地排列在書架上，求事件A=“至少有一本書自左到右的排列順序號(hào)與它的編號(hào)相同”的概率。 例 6：五個(gè)乒乓球，其中三個(gè)舊球，二個(gè)新球，每次取一個(gè)， 共取兩次，以有放回和無放回兩種方式求下列事件的概率： （ 1） A=“兩次都取到新球”； （ 2） B=“第一次取到新球，第二次取到舊球”； （ 3） C=“至少有一次取到新球”。 例 7：一盒中裝有 4只壞晶體管和 6只好晶體管，在其中取二 次，每次取一只作不放回抽樣， 求下列事件的概率： （ 1） A=“發(fā)現(xiàn)第一只好的，第二只也是好的”； （ 2） B=“兩只都是好的”； （ 3） C=“