概率論與數(shù)理統(tǒng)計第14節(jié)全概及逆概公式(已修改)
2025-05-11 12:05 本頁面
【正文】 全概率公式 逆概率公式 全概率公式與逆概率公式 定義 且滿足為一個隨機(jī)事件序列，設(shè) nAAA , 21 ?niAP i ?,2,1,0)()1( ??兩兩互斥nAAA ,)2( 21 ???nAAA ???? 21)3(為一個完備事件組那么，稱 nAAA , 21 ?也稱為 的一個分割 ?1A2A3A 1?nA? nA樣本空間的分割（ P38） 2 1 有三個罐子 ,1號裝有 2 紅 1 黑球 , 2號裝有 3 紅 1 黑球， 3號裝有 2 紅 2 黑球 . 某人從中隨機(jī)取一罐，再從中任意取出一球， 求取得紅球的概率 . 3 引例 1： 如何求取得紅球的概率？？？ )()()()()()()(,,221121nnnABPAPABPAPABPAPBPAAAEBE???? ?? 則的一個完備事件組為的事件為的樣本空間為設(shè)試驗定理??一、全概率公式（ P38） 全概率公式 )()()()( 21 BAPBAPBAPBP n???? ?證明 ΩBB ?.21 BABABA n?????)()()()()()( 2211 nn ABPAPABPAPABPAP ???? ?兩兩互斥BABABA n, 21 ?BAAA n ????? )( 21? 全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題 ,分解為若干個簡單事件的概率計算問題 ,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果 . 全概率公式的使用 我們把事件 B看作某一過程的結(jié)果， 因，看作該過程的若干個原把 nAAA , 21 ?根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知， ? ?? ?已知即 nAP? ?? ?已知即 nABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知， 則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率． ? ?? ?BP即求???niii ABPAPBP1)()()(因為 B 發(fā)生總是伴隨著 A1, A2, A3 之一同時發(fā)生． 依題意 : P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 有三個罐子 ,1號裝有 2 紅 1 黑球 , 2號裝有 3 紅 1 黑球 ， 3號裝有 2 紅 2 黑球 . 某人從中隨機(jī)取一罐 ，再從中任意取出一球 ， 求取得紅球的概率 . 2 1 解 : 記 Ai ={ 球取自 i 號罐 } i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是樣本空間的一個分割 。 B ={ 取得紅球 } ???31)|()()(iii ABPAPBP由全概率公式得3 再看引例 1 代入數(shù)據(jù)計算得： 362321433231)( ??????? ???BP例 1 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為 2% ， 1%， 1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少 ? 設(shè)事件 B 為“任取一件為次品” , .3,2,1,”“ ?iiA i 廠的產(chǎn)品任取一件為為事件,321 ??AAA ??解 .3,2,1, ???? jijiAA ji?30% 20% 50% ,)(,)(,)(321???APAPAP1A2A 3A例 1 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為 2% ， 1%， 1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少 ? 事件 B 為“任取一件為次品” , ?30% 20% 50% 2% 1% 1% ,)( 1 ?ABP ,)( 2 ?ABP ,)( 3 ?ABP1A2A 3A由全概率公式得 ,)(,)(,)( 321 ??? APAPAP)()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP ???. ???????,)(,)(,)( 321 ??? ABPABPABP例 2 飛機(jī)有三個不同的部分遭到射擊 ,在第一部分被擊中一彈 ,或第二部分被擊中 2彈 ,或第 3部分被擊中 3彈飛機(jī)才會被擊落 ,其命中率和每一部分面積成正比 ,三部分面積之比為 ::中兩彈（兩彈獨立） ,求飛機(jī)被擊落的概率 . 解 : 部分為第一彈擊中第設(shè) iA i將中的兩彈分出先后次序 部分為第二彈擊中第 iB i3,2,1?i為飛機(jī)被擊落設(shè) C1A2A3A1B2B3B1B2B3B1B2B3B
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