高考數(shù)學(xué)必考直線和圓錐曲線經(jīng)典題型含詳解(已修改)
2025-04-29 12:45 本頁面
【正文】 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。弦長公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0，1），橢圓過動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)：證明直線過定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。一、過一定點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在拋物線外，則過點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：兩條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（2）若定點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（3）若定點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條：和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。二、過定點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）若定點(diǎn)P在雙曲線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點(diǎn)P在雙曲線外且不在漸近線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點(diǎn)P在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；（5）若定點(diǎn)P在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對(duì)稱中心，過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題過點(diǎn)T(1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。分析：過點(diǎn)T(1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運(yùn)用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 ①由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 ②由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。 解得滿足②式 此時(shí)。 例題已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。 解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(xiàn)(1，0)，l:x=2.∵圓過點(diǎn)O、F,∴圓心M在直線x= 設(shè)M()，則圓半徑：r=|()(2)|=由|OM|=r，得，解得t=177。，∴所求圓的方程為(x+)2+(y177。)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0, 設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0)，代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k22=0∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F， ∴方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)， 則x1+x1= ∴AB垂直平分線NG的方程為 令y=0，得 ∵∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。例題已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn)AA2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PAPA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(2,
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