機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)(已修改)
2025-04-29 03:25 本頁(yè)面
【正文】 1. 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的求解方法:解析解法和數(shù)值近似解法。解析解法是指優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)方程（數(shù)學(xué)模型）描述，用數(shù)學(xué)解析方法的求解方法。解析法的局限性：數(shù)學(xué)描述復(fù)雜，不便于或不可能用解析方法求解。數(shù)值解法：優(yōu)化對(duì)象無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，只能通過(guò)大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或擬合方法構(gòu)造近似函數(shù)式，求其優(yōu)化解；以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，通過(guò)試驗(yàn)逐步改進(jìn)得到優(yōu)化解。數(shù)值解法可用于復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可用于沒(méi)有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化問(wèn)題。但不能把所有設(shè)計(jì)參數(shù)都完全考慮并表達(dá)，只是一個(gè)近似的數(shù)學(xué)描述。數(shù)值解法的基本思路：先確定極小點(diǎn)所在的搜索區(qū)間，然后根據(jù)區(qū)間消去原理不斷縮小此區(qū)間，從而獲得極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。2. 優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型包含的三個(gè)基本要素：設(shè)計(jì)變量、約束條件（等式約束和不等式約束）、目標(biāo)函數(shù)（一般使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值）。3. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，兩類設(shè)計(jì)方法：優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。優(yōu)化準(zhǔn)則法：（為一對(duì)角矩陣）數(shù)學(xué)規(guī)劃法：（分別為適當(dāng)步長(zhǎng)\某一搜索方向——數(shù)學(xué)規(guī)劃法的核心）4. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般是非線性規(guī)劃問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問(wèn)題。重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值問(wèn)題和不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件。5. 對(duì)于二元以上的函數(shù)，方向?qū)?shù)為某一方向的偏導(dǎo)數(shù)。函數(shù)沿某一方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的梯度與這一方向單位向量的內(nèi)積。梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向（最速上升方向），建議用單位向量表示，而梯度的模是函數(shù)變化率的最大值。6. 多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)。海賽矩陣：=（對(duì)稱方陣）7. 極值條件是指目標(biāo)函數(shù)取得極小值時(shí)極值點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。某點(diǎn)取得極值，在此點(diǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，極值點(diǎn)的必要條件：極值點(diǎn)必在駐點(diǎn)處取得。用函數(shù)的二階倒數(shù)來(lái)檢驗(yàn)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。二階倒數(shù)大于零，取得極小值。二階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，判斷開(kāi)始不為零的導(dǎo)數(shù)階數(shù)如果是偶次，則為極值點(diǎn)，奇次則為拐點(diǎn)。二元函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充分條件是在該點(diǎn)出的海賽矩陣正定。極值點(diǎn)反映函數(shù)在某點(diǎn)附近的局部性質(zhì)。8. 凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃。凸規(guī)劃問(wèn)題的任何局部最優(yōu)解也就是全局最優(yōu)點(diǎn)。凸集是指一個(gè)點(diǎn)集或一個(gè)區(qū)域內(nèi)，連接其中任意兩點(diǎn)的線段上的所有元素都包含在該集合內(nèi)。性質(zhì)：凸集乘上某實(shí)數(shù)、兩凸集相加、兩凸集的交集仍是凸集。凸函數(shù)：連接凸集定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)的線段上，函數(shù)值總小于或等于用任意兩點(diǎn)函數(shù)值做線性內(nèi)插所得的值。數(shù)學(xué)表達(dá): ,若兩式均去掉等號(hào)，則稱作嚴(yán)格凸函數(shù)。凸函數(shù)同樣滿足倍乘，加法和倍乘加仍為凸函數(shù)的三條基本性質(zhì)。凸規(guī)劃針對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為凸函數(shù)是的約束優(yōu)化問(wèn)題。9. 等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件。兩種處理方法：消元法和拉格朗日乘子法。也分別稱作降維法和升維法。消元法:將等式約束條件的一個(gè)變量表示成另一個(gè)變量的函數(shù)。減少了變量的個(gè)數(shù)。拉格朗日乘子法是通過(guò)增加變量將等式約束優(yōu)化問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，增加了變量的個(gè)數(shù)。10. 不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件。不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件為庫(kù)恩塔克條件。庫(kù)恩塔克條件：，幾何意義：在約束極小值處，函數(shù)的負(fù)梯度一定能表示成所有起作用約束在該點(diǎn)梯度的非負(fù)線性組合。對(duì)于含有等式約束的優(yōu)化問(wèn)題的拉格朗日乘子，并沒(méi)有非負(fù)的要求。
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