數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)——優(yōu)化問題(已修改)
2025-04-19 02:43 本頁面
【正文】 摘要在手機(jī)普遍流行的今天，建設(shè)基站的問題分析對(duì)于運(yùn)營商來說很有必要。本文針對(duì)現(xiàn)有的條件和題目的要求進(jìn)行討論。在建設(shè)此模型中，核心運(yùn)用到了01整數(shù)規(guī)劃模型，且運(yùn)用lingo軟件求解。對(duì)于問題一： 我們引入01變量，建立目標(biāo)函數(shù)：覆蓋人口最大數(shù)=所有被覆蓋的社區(qū)人口之和，即max=，根據(jù)題目要求建立約束條件，并用數(shù)學(xué)軟件LINGO對(duì)其模型求解，得到最優(yōu)解。對(duì)于問題二： 同樣運(yùn)用01整數(shù)規(guī)劃模型，建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，此處假設(shè)每個(gè)用戶的正常資費(fèi)相同，所以68%可以用減少人口來求最優(yōu)值，故問題二的目標(biāo)函數(shù)為：max=上述模型得到最優(yōu)解結(jié)果如下：研究問題建中繼站位置所需費(fèi)用最優(yōu)值問題一745百萬問題二745百萬關(guān)鍵字：基站。 01整數(shù)規(guī)劃；lingo軟件目錄1 問題的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32 問題的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43 模型的假設(shè)與符號(hào)的說明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 65 模型結(jié)果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．76 優(yōu)化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．77 參考文獻(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8附錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 問題的重述某手機(jī)運(yùn)營商準(zhǔn)備在一個(gè)目前尚未覆蓋的區(qū)域開展業(yè)務(wù)，計(jì)劃投資5000萬元來建設(shè)基站。該區(qū)域由15個(gè)社區(qū)組成，有7個(gè)位置可以建設(shè)基站，每個(gè)基站只能覆蓋有限個(gè)社區(qū)。圖1是該區(qū)域的示意圖，每個(gè)社區(qū)簡化為一個(gè)多邊形，每個(gè)可以建設(shè)基站的位置已用黑點(diǎn)標(biāo)出。由于地理位置等各種條件的不同，每個(gè)位置建設(shè)基站的費(fèi)用也不同，且覆蓋范圍也不同。表1中列出了每個(gè)位置建設(shè)基站的費(fèi)用以及能夠覆蓋的社區(qū)，表2列出了每個(gè)社區(qū)的人口數(shù)。圖1表1 每個(gè)位置建設(shè)基站的費(fèi)用及所能覆蓋的社區(qū)位置1234567費(fèi)用（百萬元）719141311覆蓋社區(qū)1,2,42,3,54,7,8,105,6,8,98,9,127,10,11,12,1512,13,14,15 表2 每個(gè)社區(qū)的人口數(shù)量社區(qū)123456789101112131415人口（千人）24136947．5101161496問題一：在不超過5000萬建設(shè)費(fèi)用的情況下，在何處建設(shè)基站，能夠覆蓋盡可能多的人口；問題二：考慮到基站出現(xiàn)故障維修的時(shí)候可能會(huì)出現(xiàn)所覆蓋的社區(qū)信號(hào)中斷等問題，為此對(duì)通訊資費(fèi)進(jìn)行了調(diào)整，規(guī)定，僅有一個(gè)基站信號(hào)覆蓋的小區(qū)通訊資費(fèi)按正常資費(fèi)的68%收取，有兩個(gè)或兩個(gè)以上基站信號(hào)覆蓋的小區(qū)的通訊資費(fèi)按正常收取，針對(duì)于5000萬元的預(yù)算，應(yīng)該如何建設(shè)基站，才能夠使得資費(fèi)的收入達(dá)到最大。 問題的分析 手機(jī)是通過在地面上建立了大量的無線基站來傳遞信號(hào),達(dá)到通話目的。若某手機(jī)運(yùn)營商準(zhǔn)備在一個(gè)目前尚未覆蓋的區(qū)域開展業(yè)務(wù)，則需要考慮基站的覆蓋能力，即某基站覆蓋的那些社區(qū)以及社區(qū)的人數(shù)等問題，在此基礎(chǔ)上建立基站網(wǎng)絡(luò)，最大程度上服務(wù)于小區(qū)的居民。根據(jù)題目條件，為了更好地分析問題，我們將基站對(duì)于小區(qū)的覆蓋情況用下表來描述。表3每個(gè)基站所能覆蓋的社區(qū)1234567891011121314151OOO2OOO3OOOO4OOOO5OOO6OOOOO7OOOO考慮到有的小區(qū)僅僅只有一個(gè)基站覆蓋，因此要想實(shí)現(xiàn)所有社區(qū)的全面覆蓋，有些基站是不能缺少的。例如，1號(hào)、3號(hào)、6號(hào)、11號(hào)、13號(hào)、14號(hào)社區(qū)均只可能有一個(gè)基站覆蓋，那么為這些社區(qū)服務(wù)的基站是必不可少的。因此，基站1號(hào)、2號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、7號(hào)必須要設(shè)。建設(shè)這些基站的費(fèi)用+7+14+13+11=50。此時(shí)，僅僅必須建設(shè)的基站的費(fèi)用已經(jīng)不能滿足要求。因此，要想在實(shí)現(xiàn)不超過5000萬建設(shè)費(fèi)用的情況下實(shí)現(xiàn)對(duì)所有社區(qū)的覆蓋是不可能的。針對(duì)問題一： 建立01整數(shù)規(guī)劃，通過對(duì)題目條件和問題的挖掘，列寫出規(guī)模型中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件lingo求解，得到合理的基站建設(shè)方案。針對(duì)問題二： 在滿足基站建設(shè)成本不超過5000萬元的情況下，確定一個(gè)合理的基站建設(shè)方案，使得運(yùn)營商的資費(fèi)收入最高。 問題關(guān)鍵在于確定每一個(gè)社區(qū)用哪幾個(gè)社區(qū)覆蓋，然后計(jì)算根據(jù)題目中的“僅有一個(gè)基站信號(hào)覆蓋的小區(qū)通訊資費(fèi)按正常資費(fèi)的68%收取，有兩個(gè)或兩個(gè)以上基站信號(hào)覆蓋的小區(qū)的通訊資費(fèi)按正常收取”的原則，可以列寫出關(guān)于資費(fèi)收入的函數(shù)表達(dá)式。運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件lingo最終把滿足條件的基站建設(shè)方案解出，最終確定出最理想的基站建設(shè)方案。 模型的假設(shè)與符號(hào)的說明
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