4第17講應(yīng)急設(shè)施的優(yōu)化選址問題數(shù)學(xué)建模(已修改)
2025-04-16 02:48 本頁面
【正文】 第17講 應(yīng)急設(shè)施的優(yōu)化選址問題問題（AMCM86B題）里奧蘭翹鎮(zhèn)迄今還沒有自己的應(yīng)急設(shè)施。1986年該鎮(zhèn)得到了建立兩個應(yīng)急設(shè)施的撥款，每個設(shè)施都把救護(hù)站、消防隊和警察所合在一起。圖171指出了1985年每個長方形街區(qū)發(fā)生應(yīng)急事件的次數(shù)。在北邊的形狀的區(qū)域是一個障礙，而在南邊的長方形區(qū)域是一個有淺水池塘的公園。應(yīng)急車輛駛過一條南北向的街道平均要花15秒，而通過一條東西向的街道平均花20秒。你的任務(wù)是確定這兩個應(yīng)急設(shè)施的位置，使得總響應(yīng)時間最少。圖171 1985年里奧蘭翹每個長方街區(qū)應(yīng)急事件的數(shù)目（I）假定需求集中在每個街區(qū)的中心，而應(yīng)急設(shè)施位于街角處。（II）假定需求是沿包圍每個街區(qū)的街道上平均分布的，而應(yīng)急設(shè)施可位于街道的任何地方。167。1 若干假設(shè)圖171所標(biāo)出的1985年每個長方形街區(qū)應(yīng)急事件的次數(shù)具有典型代表性，能夠反映該街區(qū)應(yīng)急事件出現(xiàn)的概率的大小。應(yīng)急車輛的響應(yīng)時間只考慮在街道上行駛時間，其他因紗（如轉(zhuǎn)彎時間等）可以忽略不計。兩個應(yīng)急設(shè)施的功能完全相同。在應(yīng)急事件出現(xiàn)時，只要從離事件發(fā)生地點(diǎn)最近的應(yīng)急設(shè)施派出應(yīng)急車輛即可。執(zhí)行任何一次應(yīng)急任務(wù)的車輛都從某一個應(yīng)急設(shè)施出發(fā)，完成任務(wù)后回到原設(shè)施。不出現(xiàn)從一個應(yīng)急事件點(diǎn)直接到另一事件點(diǎn)的情況。（這是因為，每一個地點(diǎn)發(fā)生事件的概率都很小，兩個地點(diǎn)同時發(fā)生事故的概率就更是小得可以忽略不計）。167。2 假定（I）下的模在假定（I）下，應(yīng)急需求集中在每個街區(qū)中心。我們可以進(jìn)一步假定應(yīng)急車輛只要到達(dá)該街區(qū)四個街角中最近的一個，就認(rèn)為到達(dá)了該街區(qū)，可以開始工作了。按假定（I），每個應(yīng)急設(shè)施選在街角處，可能的位置只有611=66個。兩個應(yīng)急設(shè)施的位置的可能的組合至多只有6665/2=2145個。這個數(shù)目對計算機(jī)來說并不大，可用計算機(jī)進(jìn)行窮舉，對每種組合一一算出所對應(yīng)的總響應(yīng)時間，依次比較得出最小的響應(yīng)時間及對應(yīng)的選址方案。具體算法是：建立直角坐標(biāo)系，以該鎮(zhèn)的西北角為原點(diǎn)，從北到南為軸正方向，從西到東為軸正方向，在南北、東西方向上分別以一個街區(qū)的長作為單位長，則街角的坐標(biāo)是滿足條件的整數(shù)。而每個街區(qū)中心的坐標(biāo)具有形式，其中是滿足條件：的整數(shù)。如果不考慮障礙和水塘的影響，同應(yīng)急車輛從設(shè)在點(diǎn)的應(yīng)急設(shè)施到以為中心的街區(qū)的行駛時間等于 秒記為以為中心的街區(qū)的事故發(fā)生頻率（即在圖上該街區(qū)所標(biāo)的數(shù)字）。如果應(yīng)急設(shè)施設(shè)在這兩點(diǎn)，總不妨設(shè)，則該設(shè)置方案的總響應(yīng)時間為讓取遍0—10，取遍，分別獨(dú)立地取遍0—4。依次對四數(shù)組的每一個值算出對應(yīng)的總響應(yīng)時間的最小值及對應(yīng)的四數(shù)組。以上算法不難用計算機(jī)編程實現(xiàn)。由于數(shù)組的個數(shù)不算多（只有兩千多個），計算機(jī)可很快得出答案。答案是：兩個應(yīng)急設(shè)施分別設(shè)在點(diǎn)（2，3），（6，3）時最優(yōu)。這是在不考慮形障礙區(qū)域和水塘的影響的假定下得出的最優(yōu)解，但從這兩個點(diǎn)到任何街區(qū)都可避開形障礙區(qū)域和水塘，故它們也就是原題所需的最優(yōu)選址。167。2 假定（II）下的模型在假定（II）下，由于允許應(yīng)急設(shè)施設(shè)在街道上任何位置，這就有無窮多種可能位置，不能直接用計算機(jī)窮舉。不過，我們可證明：應(yīng)急設(shè)施仍應(yīng)設(shè)在街角處，才能使總響應(yīng)時間最少。對已選定的兩個應(yīng)急設(shè)施的位置和，我們先來看總響應(yīng)時間怎樣計算。首先，我們將街道上所有的點(diǎn)的集合劃分成兩個責(zé)任區(qū)，分別由進(jìn)行救助：街道上的點(diǎn)如果由點(diǎn)去救助比由點(diǎn)去救助的路程更近，就將劃進(jìn)的責(zé)任區(qū)，反之就劃進(jìn)，為敘述方便，我們將每個長方形街區(qū)的四條邊中的每一條稱為一條“街道”，街道的一段稱為“街段”。每條街道中屬于的點(diǎn)與屬于的點(diǎn)各組成一個街段，分別稱為的或的“責(zé)任段”。一條街道最多被分成兩個責(zé)任段（也有可能整條街道屬于同一個責(zé)任區(qū)，因而本身就是一個責(zé)任段），責(zé)任地段只有有限多條，對每個應(yīng)急設(shè)施，我們分別算出它的每個責(zé)任段的總響應(yīng)時間，將這些總響應(yīng)時間求和就得到這個設(shè)施的責(zé)任區(qū)的總響應(yīng)時間。將兩個責(zé)任區(qū)各自的總響應(yīng)時間相加就得到這一選址方案的總響應(yīng)時間。下面需要知道：任一設(shè)施到它的一個責(zé)任段的總響應(yīng)時間怎樣計算。按假定（II），街區(qū)出現(xiàn)事故的頻率平均分布在它周圍的四條街道上，每條街段的事故發(fā)生頻率與它的長度成正比。將應(yīng)急車輛每秒鐘行駛的路程作為長度單位，則當(dāng)街區(qū)事故頻率為、街段的長度為時，這一街段的事故頻率為是街區(qū)的周長，即車輛繞街區(qū)行駛一周需70秒。在大多數(shù)情況下，一條街段同時與兩個街區(qū)相鄰，兩個街區(qū)的事故它都有份，它的事故頻率應(yīng)為分別是兩個街區(qū)的事故的總頻率（即原題圖上標(biāo)出的數(shù)）。當(dāng)然可以用積分的方法。即插入分點(diǎn)將責(zé)任段分成許多微小街段，對每一小段按其長度計算出它的事故發(fā)生頻率，其中是的長度，是與無關(guān)（但與的選取有關(guān)）的常數(shù)。取應(yīng)急車輛人到中任意一點(diǎn)的行駛時間作為到的時間，則微小街段的響應(yīng)時間近似地等于。對這些微小的響應(yīng)時間求和即得到的總響應(yīng)時間的近似值。讓每個，求和變成求積分即可。但在這里，問題比較簡單，可以不用積分。事實上，由于的每一小段的事故發(fā)生頻率只與這一小段的長度有關(guān)，換句話說：頻率密度是常數(shù)，只要求出到的平均行駛時間，再乘以的總的事故頻率就行了。當(dāng)設(shè)在街角處時，平均行駛時間也就是到的中點(diǎn)的行駛時間秒，這里分別是的坐標(biāo)，而且不考慮障礙和水塘的影響。將乘以的事故頻率，就得到的總響應(yīng)時間。換句話說，就是將的事故頻率集中到點(diǎn)，認(rèn)為按頻率發(fā)生事故，而的其他點(diǎn)都不發(fā)生事故。這樣不會改變的總響應(yīng)時間，卻便于計算，如果應(yīng)急設(shè)施不是設(shè)在街角處，而是設(shè)在某條街道的兩個端點(diǎn)之間，則可能出現(xiàn)這樣的情況：從出發(fā)到中的某些點(diǎn)的最短救助路線應(yīng)向方
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