數(shù)學(xué)建?！髁繂栴}(已修改)
2025-04-16 04:27 本頁(yè)面
【正文】 實(shí)驗(yàn)十四 水塔流量問題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．了解有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念和原理。2．初步了解處理數(shù)據(jù)插值與擬合的基本方法，如樣條插值、分段插值等。3．學(xué)習(xí)掌握用MATLAB命令處理數(shù)據(jù)插值與擬合問題?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】某居民區(qū)有一供居民用水的圓形水塔，一般可以通過測(cè)量其水位來估計(jì)水的流量。但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間是無法測(cè)量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí)。、。按照設(shè)計(jì)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)。某一天的水位測(cè)量記錄如表1所示，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量。表1 水位測(cè)量啟示錄（//表示水泵啟動(dòng)）時(shí)刻（h）水位（cm）0968948931913898881869852839822時(shí)刻（h）水位（cm）////108210501021994965941918892時(shí)刻（h）水位（cm）866843822////105910351018【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】 在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，常常遇到這樣的問題：由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的一批離散樣點(diǎn)，需要確定滿足特定要求的曲線或曲面（即變量之間的函數(shù)關(guān)系或預(yù)測(cè)樣點(diǎn)之外的數(shù)據(jù)）。如果要求曲線（面）通過所給的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)（即確定一個(gè)初等函數(shù)通過已知各數(shù)據(jù)，一般用多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式），這就是數(shù)據(jù)插值。在數(shù)據(jù)較少的情況下，這樣做能夠取得好的效果。但是，如果數(shù)據(jù)較多，那么插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的函數(shù)，比較復(fù)雜。如果不要求曲線（面）通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，可得到更簡(jiǎn)單實(shí)用的近似函數(shù)，這就是數(shù)據(jù)擬合。函數(shù)插值和曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 1．?dāng)?shù)據(jù)插值的基本方法 拉格朗日插值若知道函數(shù)＝在互異的兩個(gè)點(diǎn)和處的函數(shù)值和，而想估計(jì)該函數(shù)在另一點(diǎn)處的函數(shù)值，最自然的想法是作過點(diǎn)（，）和點(diǎn)（，）的直線＝，用作為準(zhǔn)確值的近似值，如果得到的結(jié)果誤差太大，還可增加一點(diǎn)的函數(shù)值，即已知＝在互異的三個(gè)點(diǎn)，和處的函數(shù)值，和，可以構(gòu)造過這三點(diǎn)的二次曲線＝，用作為準(zhǔn)確值的近似值。一般的，若已知＝在互異的＋1個(gè)點(diǎn)，…，處的函數(shù)值，…，則可以考慮構(gòu)造一個(gè)過這＋1個(gè)點(diǎn)的次數(shù)不超過的多項(xiàng)式 ?。剑 ?（1）通過所有＋1個(gè)點(diǎn)，即滿足 ?。?，＝0，1，…， ?。?）然后用作為準(zhǔn)確值的近似值。這樣構(gòu)造出來的多項(xiàng)式稱為的次拉格朗日插值多項(xiàng)式或插值函數(shù)?！ 》侄尾逯怠 《囗?xiàng)式歷來都被認(rèn)為是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收斂性，會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目增多而次數(shù)升高，一般不宜采用高次多項(xiàng)式（如＞7）插值，否則逼近的效果往往是不理想的，甚至發(fā)生龍格振蕩（當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目不斷增大時(shí)，在區(qū)間中部趨于，但對(duì)于區(qū)間兩端的，并不趨于，也稱龍格現(xiàn)象）?！ ≡诓逯捣秶^小，用低次插值往往就能奏效。最直觀的辦法就
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